题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
三次单位根 ω 有两个「随身恒等式」：ω³=1 与 1+ω+ω²=0。前者管降次，后者管消项；再记住 ω̄=ω²、|ω|=1，绝大多数化简题都能收口。
取 ω=e^(2πi/3)=−1/2+(√3/2)i，ω²=e^(4πi/3)=−1/2−(√3/2)i。以下指数与项数均为自编示意设定，非真题数据。
二、逐题精讲
题1
题1 求 (1+ω)(1+ω²) 与 (1−ω)(1−ω²)，并求 |1−ω|；全部用 ω³=1 与 1+ω+ω²=0 推导。
解析
(1+ω)(1+ω²) = 1 + (ω+ω²) + ω³ = 1 + (−1) + 1 = 1（复数现算 1）。注意不是 2：ω³=1 只补回一个 1，而 ω+ω²=−1 先抵消掉另一个 1。
(1−ω)(1−ω²) = 1 − (ω+ω²) + ω³ = 1 − (−1) + 1 = 3（复算 3）。
|1−ω|：1−ω = 3/2 − (√3/2)i，模 = √[(3/2)²+(√3/2)²] = √(9/4+3/4) = √3 = 1.7321，与复数现算 1.7321 闭合；也可用 |1−ω|²=(1−ω)(1−ω̄)=(1−ω)(1−ω²)=3 直接得 √3。
回代：ω³ = 1，1+ω+ω² = -0，两式均按定义成立，故上面三处化简可互验。
答案 (1+ω)(1+ω²) = 1；(1−ω)(1−ω²) = 3；|1−ω| = √3 = 1.7321
采分点 两式展开各 2 分；模长推导 2 分；用单位根恒等式而非硬算 1 分；回代 1 分
易错点 把 (1−ω)(1−ω²) 展开时漏掉 +ω³；另需避免把 ω̄ 写成 ω 而非 ω²
题2
题2 求 S = 1+ω+ω²+…+ω^2025（共 2026 项），说明周期性归并的依据。
解析
因 ω³=1，幂按 3 项一周期：ω^(3k)=1、ω^(3k+1)=ω、ω^(3k+2)=ω²；每完整一周期之和 1+ω+ω²=0。
共 2026 项 = 3×675 + 1，故 S = 675×0 + 余下 1 项（k=0 起，只剩 1） = 1。
回代：用复数现算 Σω^k（k=0..2025）得实部 1、虚部 2.25e-13，与周期归并一致；若误把项数当成 2025 项，2025 = 3×675 + 0，和则为 0.0000，不再是 1，可见「项数」与「最高指数」差 1 是本题唯一易错处。
答案 S = 1（2026 项 = 3×675 + 1，每整周期和为 0，余 1 项）
采分点 周期性依据 2 分；项数分解 2 分；结果 2 分；复数回代 1 分；「项数与最高指数差 1」说明 1 分
易错点 把 ω^2025 当成 2025 项而非 2026 项；另需避免余项从 ω 起算
三、规律小结与对照表
| 恒等式 | 来源 | 用途 | 易错 |
|---|---|---|---|
| ω³=1 | ω=e^(2πi/3) | 降次 | 漏用 |
| 1+ω+ω²=0 | ω≠1 且 ω³−1=(ω−1)(1+ω+ω²) | 消整周期 | 误当 1 |
| ω̄=ω² | 共轭与模 | 化简 |1−ω| | 写成 ω |
| 周期归并 | 3 项一周期 | 长和式 | 项数少算 1 |
小结：ω³=1 降次、1+ω+ω²=0 消项、ω̄=ω² 收模。两积式 1 与 3、|1−ω|=1.7321、长和式 S=1 四处闭合。以上项数为自编示意设定。
四、自测清单
- 能写出 ω³=1 与 1+ω+ω²=0
- 能用两式化简 (1±ω)(1±ω²)
- 能说明 ω̄=ω² 与 |ω|=1
- 能用周期性归并长和式
- 能区分「项数」与「最高指数」
- 能回代长和式 S=1 与两积式
