题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
迭代 x_{n+1}=f(x_n) 会不会停在某一点，先看不动点方程 x*=f(x*)，再看 f 在该点附近「压缩还是放大」：|f′(x*)|<1 收敛，>1 发散。
示意函数 f(x)=0.5x+1 与 g(x)=2x+1，均从 x₀=0 起迭代 4 次。以下函数与初值均为自编示意设定，非真题数据。
二、逐题精讲
题1
题1 求 f(x)=0.5x+1 的不动点，列出前 4 次迭代值与误差，并说明误差按什么比缩小。
解析
解 x=0.5x+1 得 x*=2。迭代：x₀=0 → x₁=1 → x₂=1.5 → x₃=1.75 → x₄=1.875。
误差 eₙ=|xₙ−2|：2、1、0.5、0.25、0.125，相邻比值恒为 2.0，即 eₙ₊₁ = 0.5·eₙ。
因为 f′(x)=0.5 恒小于 1，f 是压缩映射，误差按 0.5 等比缩小，迭代必收敛到 2；闭式 xₙ = 2 − 2/2ⁿ 亦可直接验：n=4 时 2 − 2/16 = 1.875 = x₄ ✓。
答案 不动点 x*=2；迭代 1, 1.5, 1.75, 1.875；误差按 0.5 等比缩小
采分点 不动点方程 2 分；迭代值 2 分；误差比 2 分；压缩映射说明 1 分；闭式回代 1 分
易错点 把 x₂=1.5 写成 1.25；另需避免用 x₀ 当误差起点却漏掉 e₀
题2
题2 求 g(x)=2x+1 的不动点，列出前 4 次迭代与误差，并说明为何不收敛；与 f 型对照。
解析
解 x=2x+1 得 x*=-1。迭代：x₀=0 → x₁=1 → x₂=3 → x₃=7 → x₄=15。
误差 eₙ=|xₙ−(−1)|：1、2、4、8、16，按 2.0 等比放大，迭代发散。
对照：f 型 |f′|=0.5<1，误差 0.125；g 型 |g′|=2.0>1，误差 16。两型不动点都存在，但只有压缩映射能把迭代拉过去；不动点存在 ≠ 迭代收敛。回代：g 型 e₄/e₀ = 16 = 2.0⁴ ✓，f 型 e₄/e₀ = 0.0625 = 0.5⁴ ✓。
答案 g 型不动点 x*=-1，迭代 1, 3, 7, 15，误差按 2.0 放大、不收敛
采分点 不动点 1 分；迭代与误差 2 分；发散原因 2 分；两型对照 2 分；四次幂回代 1 分
易错点 把「有不动点」当成「迭代必收敛」；另需避免把 g 型误差比写成 1/2
三、规律小结与对照表
| 函数 | x* | |f′(x*)| | 迭代走向 |
|---|---|---|---|
| f(x)=0.5x+1 | 2 | 0.5 | 误差等比缩小，收敛 |
| g(x)=2x+1 | −1 | 2 | 误差等比放大，发散 |
| 判据 | x*=f(x*) | <1 才收敛 | 不动点存在≠收敛 |
小结：不动点由方程定，收敛性由导数定。f 型 e₄=0.125、g 型 e₄=16，分别等于 0.5⁴ 与 2.0⁴ 乘 e₀，两路闭合。以上函数与初值均为自编示意设定。
四、自测清单
- 能由 x*=f(x*) 求不动点
- 能列出迭代序列与误差
- 能用 |f′(x*)| 判断收敛或发散
- 能说明「不动点存在」不等于「迭代收敛」
- 能回代 f 型误差比 0.5 与 g 型 2.0
- 能用四次幂验证误差比
