题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
过 x 轴上一点作抛物线的动弦，最省事的设法是 x = ty + x₀：它把「斜率不存在」也包进去了，不必分两支讨论。联立后用韦达，两个乘积常常就是定值。
示意曲线 y² = 2px 取 p=2（即 y²=4x），动弦过定点 (4, 0)；另取对照定点 (1, 0)。以下参数与系数均为自编示意设定，非真题数据。
二、逐题精讲
题1
题1 设动直线 x = ty + 4 与 y²=4x 交于 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)。求 y₁y₂、x₁x₂，并证 OA⊥OB。
解析
代入：y² = 4(ty + 4) ⇒ y² − 4t·y − 16 = 0，即 y² − 4t·y − 16 = 0。
由韦达：y₁ + y₂ = 4t，y₁y₂ = -16；又 xᵢ = yᵢ²/4，故 x₁x₂ = (y₁y₂)²/16 = 256/16 = 16。
向量点积 OA·OB = x₁x₂ + y₁y₂ = 16 + (-16) = 0，故 OA⊥OB，为与 t 无关的定值。
回代：取 t=1 时方程 y²−4y−16=0，两根 y = 2±2√5，积 = 4−20 = -16 ✓；对应 x 积 = (-16)²/16 = 16 ✓，点积 0 ✓。
答案 y₁y₂ = -16，x₁x₂ = 16，OA·OB = 0，故 OA⊥OB 为定值
采分点 设线理由 1 分；联立与韦达 2 分；两乘积 2 分；点积与垂直 2 分；取 t 回代 1 分
易错点 用 y=k(x−4) 设线漏掉竖直线；另需避免把 x₁x₂ 写成 y₁y₂/4
题2
题2 若把定点改为 (1, 0)，定值还存在吗？求新的 y₁y₂、x₁x₂ 与 OA·OB，并给出「垂直为定值」的一般条件。
解析
一般式：联立 y² − 2p·t·y − 2p·x₀ = 0，故 y₁y₂ = −2p x₀，x₁x₂ = (y₁y₂)²/(2p)² = x₀²，点积 OA·OB = x₀² − 2p x₀ = x₀(x₀ − 2p)。
当 x₀ = 4 = 2p 时点积为 0，垂直成立；改取 x₀ = 1 时，y₁y₂ = -4，x₁x₂ = 1，点积 = -3 ≠ 0，OA 与 OB 不再垂直，定值消失。
回代：x₀=1 时方程 y²−4t·y−4=0，两根积 -4 ✓，x 积 = (-4)²/16 = 1 ✓，点积 1+(-4) = -3 ✓。可见「垂直」不是过点弦的普遍性质，而是 x₀=2p 这一特定定点的产物。
答案 x₀=1 时 y₁y₂=-4、x₁x₂=1、OA·OB=-3≠0，垂直不再成立；一般条件为 x₀=2p
采分点 一般式 2 分；新定点三值 2 分；定值消失结论 2 分；一般条件 2 分；回代 1 分
易错点 把「过 (4,0) 弦垂直」推广到任意定点；另需避免一般式里把 2p 写成 p
三、规律小结与对照表
| 定点 x₀ | y₁y₂ | x₁x₂ | OA·OB |
|---|---|---|---|
| 4（=2p） | -16 | 16 | 0，垂直 |
| 1 | -4 | 1 | -3，不垂直 |
| 一般 | −2p x₀ | x₀² | x₀(x₀−2p) |
小结：设 x=ty+x₀ 用韦达一次拿到两个乘积，点积 x₀(x₀−2p) 定生死。x₀=4 得 0、x₀=1 得 -3，两路闭合；垂直只在 x₀=2p 成立。以上参数均为自编示意设定。
四、自测清单
- 能说明设 x=ty+x₀ 的理由
- 能联立并用韦达求 y₁y₂ 与 x₁x₂
- 能由点积判定 OA⊥OB
- 能写出一般定点下的点积式
- 能说明改定点后定值消失
- 能回代 x₀=1 时 OA·OB=-3
