题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
定积分不总能靠原函数算，数值近似是通用办法。三种常见取点方式精度差很多：矩形法只用左端点，梯形法用两端平均，辛普森法用抛物线拟合。同一个 h 下，误差阶依次是 O(h)、O(h²)、O(h⁴)。
示意被积函数 f(x)=x²，区间 [0,1]，精确值 ∫₀¹x²dx = 1/3 = 0.333333；取 n=4，步长 h=0.25。以下节点与取位均为自编示意设定，非真题数据。
二、逐题精讲
题1
题1 分别用左端点矩形法、梯形法、辛普森法（n=4）求近似值，并各自与精确值比对误差。
解析
节点：0, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00，对应 f = 0, 0.0625, 0.25, 0.5625, 1。
左端点矩形法：R = h·Σf(xᵢ) = 0.25×0.8750 = 0.218750，误差 -0.114583（偏小 34.4%）。
梯形法：T = h·[(f₀+f₄)/2 + f₁+f₂+f₃] = 0.25×(0.5000+0.8750) = 0.343750，误差 +0.010417（偏大 3.1%）。
辛普森法：S = (h/3)[f₀+f₄+4(f₁+f₃)+2f₂] = (0.25/3)×(4.0000) = 0.333333，误差 +0.000000。
辛普森对被积函数是不超过三次的多项式时精确，本例 f=x² 为二次，故 S 与 1/3 在取位内完全一致，不是巧合；矩形法因一律取左端点而系统偏小。
答案 矩形 0.218750（误差 -0.114583）；梯形 0.343750（误差 +0.010417）；辛普森 0.333333（误差 +0.000000）
采分点 三法公式各 1 分；三法数值各 1 分；三处误差各 1 分；辛普森精确性说明 1 分
易错点 梯形法漏掉两端的 1/2 权；另需避免把矩形法的系统偏小说成「取位误差」
题2
题2 把梯形法加密到 n=8（h=0.125），求新的近似值与误差；误差约为 n=4 时的几分之一？说明对应的误差阶。
解析
n=8 时 T₈ = 0.335938，误差 = +0.002604；n=4 时误差 = +0.010417，比值 = 0.010417 / 0.002604 = 4.0，即约为 1/4。
梯形法截断误差为 O(h²)：h 由 0.25 减半为 0.125，h² 变为 1/4，故误差约缩为 1/4，与回代比值 4.0 一致。若改用辛普森法，误差阶为 O(h⁴)，h 减半时误差约缩为 1/16；本例因被积函数是二次多项式，辛普森误差本就为 0。
回代：精确值 0.333333，T₈ − 精确值 = +0.002604，T₄ − 精确值 = +0.010417，两者之比 4.0 ✓。
答案 T₈ = 0.335938，误差 +0.002604，约为 n=4 时的 1/4（比值 4.0），对应 O(h²)
采分点 T₈ 数值 2 分；新误差 1 分；比值 2 分；误差阶解释 2 分；与精确值回代 1 分
易错点 把「n 加倍」误当成「误差减半」；另需避免把辛普森的 O(h⁴) 套到梯形法上
三、规律小结与对照表
| 方法 | 公式要点 | n=4 结果 | 误差阶 |
|---|---|---|---|
| 左端点矩形 | h·Σ 左端点 | 0.218750 | O(h)，系统偏小 |
| 梯形 | h·[(端点和)/2+中间和] | 0.343750 | O(h²) |
| 辛普森 | (h/3)[端+4奇+2偶] | 0.333333 | O(h⁴)，二次精确 |
| 精确值 | ∫₀¹x²dx=1/3 | 0.333333 | — |
小结：同一 h 下三法精度差在误差阶。矩形 0.218750、梯形 0.343750、辛普森 0.333333、精确 0.333333 四处对照，n 加倍后梯形误差缩为约 1/4（比值 4.0）闭合。以上取位为自编示意设定。
四、自测清单
- 能写出三种数值积分公式
- 能计算 n=4 时三法近似值与误差
- 能说明矩形法为何系统偏小
- 能说明辛普森法对二次多项式精确
- 能通过 n 加倍验梯形法误差约缩为 1/4
- 能回代比值 4.0 与 O(h²) 的对应
