联招数学·三角换元与代数最值：√(1−x²) 型及取等条件

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

见到 √(1−x²) 先别急着平方：平方会把 x 的范围和根式的非负性一起弄丢。稳妥做法是令 x=sinθ，θ∈[−π/2,π/2]，此时 cosθ≥0，√(1−x²)=cosθ，原式直接变成 a sinθ+b cosθ。

辅助角公式：a sinθ+b cosθ = √(a²+b²)·sin(θ+φ)，其中 tanφ=b/a（a>0 时按象限定 φ）。最大值为 √(a²+b²)，取等点由 tanθ=a/b 给出。以下系数均为自编示意设定，非真题数据。

二、逐题精讲

题1

题1　设 y=x+√(1−x²)，x∈[−1,1]。求 y 的最大值与取等时的 x，并求最小值；用 x=−1、0、1 三点回代。

解析

令 x=sinθ，θ∈[−π/2,π/2]，则 √(1−x²)=cosθ，y=sinθ+cosθ=√2·sin(θ+π/4) ≤ √2 = 1.4142。

取等：θ+π/4=π/2 ⇒ θ=π/4 ⇒ x=sin(π/4)=√2/2 = 0.7071，此时代回 y = 0.7071+0.7071 = 1.4142 ✓。

最小值在端点：x=−1 时 y=−1+0=-1；x=1 时 y=1+0=1。三点回代：x=−1 → -1，x=0 → 1，x=1 → 1，均不超过 1.4142，与「最大值在内部取等点」一致。

答案　最大值 √2 = 1.4142，取等 x=√2/2 = 0.7071；最小值 -1（x=−1）

采分点　换元与 θ 范围 2 分；辅助角公式 2 分；最大值 1 分；取等点 2 分；端点与三点回代 2 分

易错点　忘记限定 θ∈[−π/2,π/2] 导致 cosθ 取负；另需避免把 x=1 处的 1 当成最大值

题2

题2　设 y=x+2√(1−x²)。求最大值与取等点；若误沿用上一型取等点 x=√2/2 代入，结果偏低百分之几？

解析

同样换元：y=sinθ+2cosθ=√(1²+2²)·sin(θ+φ)=√5·sin(θ+φ)，故最大值 √5 = 2.2361。

取等条件 tanθ=a/b=1/2 ⇒ sinθ=1/√5 = 0.4472，cosθ=2/√5 = 0.8944；代回 y = 0.4472 + 2×0.8944 = 2.2361 = √5 ✓。

误用 x=√2/2：此时 √(1−x²)=√2/2，y错 = √2/2 + 2×√2/2 = 3√2/2 = 2.1213，偏低 (2.2361−2.1213)/2.2361 = 5.1%。可见两型的取等点不同，不能套用。

答案　最大值 √5 = 2.2361，取等 x=1/√5 = 0.4472；误用 x=√2/2 得 2.1213，偏低 5.1%

采分点　辅助角系数 2 分；最大值 1 分；取等条件与 x 2 分；回代闭合 2 分；偏低比例 2 分

易错点　把取等条件写成 tanθ=b/a 而倒置；另需避免把上一型取等点直接套到系数不同的题

三、规律小结与对照表

小结：换元保证根式非负，辅助角给出上界，取等点须按系数重算。√2=1.4142、√5=2.2361、误套偏低 5.1% 三处闭合。以上系数为自编示意设定。

四、自测清单

• 能说明换元时 θ 的取值范围及原因
• 能用辅助角公式求 a sinθ+b cosθ 最大值
• 能由 tanθ=a/b 求取等点
• 能回代端点与取等点
• 能说明两型取等点不同
• 能计算误用取等点的偏低比例 5.1%