题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
三型先分清楚。错排：n 个元素全部不在原位，D_n ＝ n!·Σ_{k=0}^{n} (−1)^k/k!，也可递推 D_n ＝ (n−1)(D_{n−1}＋D_{n−2})（D₁＝0，D₂＝1）。圆排列：n 人围圆桌，旋转重合算同一种，故 (n−1)!；若指定两人相邻，先捆成一块再圆排，块内还要乘 2!。隔板法：x₁+…+x_k＝n 的正整数解数 C(n−1, k−1)；非负整数解数 C(n+k−1, k−1)（添 k 个「虚拟球」或预扣 1 转化）；若要求 x_i ≥ 2，先令 y_i＝x_i−2 再套非负公式。
操作顺序：先判型（有没有「都不在原位」／「围成一圈」／「和为定值」）→ 再选公式并写清变形 → 最后用小数值或另一条公式独立回验。下面题设数据为自编示意，非真题原文。
二、逐题精讲
题1
题1 错排与圆排列（解答题）
自编题设：(1) 四封写好的信随机装入四个对应信封，求全部装错的方式数；并用容斥公式与递推公式两条路子分别算出 D₄、D₅。
(2) 六人围一张圆桌就座，求：① 不加限制的方案数；② 其中甲、乙必须相邻的方案数；③ 若改为「甲、乙不相邻」，用①减②是否成立？说明理由。
解析
(1) 容斥路：D_n ＝ n! Σ_{k=0}^n (−1)^k/k!。D₄ ＝ 24(1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24) ＝ 24 × 0.375 ＝ 9；
D₅ ＝ 120(1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24 − 1/120) ＝ 120 × (44/120) ＝ 44。
递推路：D₁＝0，D₂＝1；D₃＝2(D₂＋D₁)＝2(1＋0)＝2；D₄＝3(D₃＋D₂)＝3(2＋1)＝9；D₅＝4(D₄＋D₃)＝4(9＋2)＝44。两路一致 ✓。
故四封信全装错为 9 种。第三路小数值回验：全排列 24 种里，恰 4 对 ＝1 种、恰 1 对 ＝ C(4,1)·D₃ ＝ 4×2 ＝ 8 种、恰 2 对 ＝ C(4,2)·D₂ ＝ 6×1 ＝ 6 种、恰 3 对不可能（余 1 个必也对，故归入 4 对）＝ 0 种，全错 ＝ 24 − 1 − 8 − 6 − 0 ＝ 9 ✓。这也顺带说明「全排列减一」是错的：装错不是只排除「全对」一种，还要排除恰好 1 对、恰好 2 对的全部情形。
(2) ① 六人圆排列 ＝ (6−1)! ＝ 5! ＝ 120 种。
② 甲乙相邻：把甲乙捆成一块，与其余 4 人共 5 个对象围圆桌 → (5−1)! ＝ 4! ＝ 24；块内甲乙可互换 2! ＝ 2。故 24×2＝48 种。
回验比例：48/120 ＝ 0.4；也可直接算「圆桌上指定一人，另一人坐其左或右 2 个位置，共 5 个可选位置」→ 2/5 ＝ 0.4 ✓。
③ 成立：相邻与不相邻是互补事件，且都在同一个圆排列样本空间里，故不相邻 ＝ 120 − 48 ＝ 72 种。但要写明前提：这里「相邻」指圆桌上左右相邻（含首尾相接的那一对位置），捆绑法之所以有效，正因为圆排列里没有线排列的「两端」——若换成排成一排，捆绑后是 5!×2! 而总数是 6!，比例变成 240/720＝1/3，不再是 2/5。「①−②」成立的依据是样本空间没变，不是互补事件在任何排列型里都同比例。
答案 (1) D₄=9、D₅=44（容斥与递推两路一致），四信全错 9 种；第三路按「恰1对 8、恰2对 6、全对 1」从 24 中扣除亦得 9。(2) ① 120；② 48（捆绑为5对象圆排4!×2!）；③ 成立，不相邻 72 种，但须写明互补事件在同一圆排列样本空间内。
采分点 写出容斥公式并算 D₄=9 1 分；算 D₅=44 1 分；写出递推并给出 D₃=2 1 分；递推得 D₄、D₅ 与容斥一致 1 分；第三路按对数扣除得 9 1 分；指出「全排列减一」错在漏排恰好 1 对/2 对 1 分；① (6−1)!=120 1 分；② 捆绑 5 对象得 4!×2!=48 1 分；用 2/5 比例回验 1 分；③ 72 种并说明样本空间前提及线排列比例不同 1 分。
易错点 把错排算成 4!−1=23；递推时把 D₃ 算成 3 或 6；圆排列写成 6!；捆绑后仍按 6 个对象圆排；忘记块内 2!；把「不相邻」用线排列的 1/3 比例去套；说「互补事件相减在任何排列里都对」而不说明样本空间。
题2
题2 隔板法四类变体（解答题）
自编题设：求方程 x₁＋x₂＋x₃＝10 的下列解数：
① 正整数解（x_i ≥ 1）；② 非负整数解（x_i ≥ 0）；③ x_i ≥ 2 的整数解；④ 从 4 种物品中可重复地取 7 个的组合数。
请分别给出公式与数值，并用变量替换说明 ①与②、②与③之间的转化关系；最后用枚举或对称性对 ① 作一次独立回验。
解析
① 正整数解：10 个相同球排成一列，9 个间隙插入 2 块隔板分成 3 份，每份至少 1 → C(9,2)＝36。② 非负整数解：允许为 0，用添球法——先给每个变量各借 1 个，令 y_i＝x_i＋1 ≥ 1，则 y₁+y₂+y₃＝13，正整数解数 C(12,2)＝66；等价写法即 C(n+k−1, k−1)＝C(10+3−1,2)＝C(12,2)＝66。
③ x_i ≥ 2：令 y_i＝x_i−2 ≥ 0，则 y₁+y₂+y₃＝10−6＝4，非负整数解数 C(4+3−1,2)＝C(6,2)＝15。
④ 可重组合：从 4 种取 7 个、每种不限量，等价于「4 个变量非负、和为 7」→ C(7+4−1, 4−1)＝C(10,3)＝120。
转化关系（变量替换）：
①→②：y_i＝x_i＋1 把「≥0」抬成「≥1」，方程右端由 10 变 13，故 C(9,2)→C(12,2)；反过来 ②→① 是 x_i＝y_i−1，右端减 3。注意不能只改公式不改右端——这是最典型的错。
②→③：y_i＝x_i−2 把「≥2」降成「≥0」，右端减 3×2＝6 得 4，故套非负公式 C(4+2,2)＝C(6,2)＝15；也可写成「先每人预分 2 个，剩 4 个自由分」。
④ 与 ② 同构：可重组合就是「k 种物品各取几个、总数固定」的非负整数解，只是把 k 从 3 换成 4、n 从 10 换成 7，公式形式完全一致。
① 的独立回验（按 x₁ 枚举）：固定 x₁＝1..8（因另两个至少各 1，x₁≤8），对应 x₂+x₃＝9,8,7,6,5,4,3,2，正整数解数依次为 8,7,6,5,4,3,2,1，和为 8+7+6+5+4+3+2+1＝36 ✓。
再用对称性回验 ② 的结构：非负解 66 里，恰有三个变量都 ≥1 的就是 ① 的 36；恰有一个为 0：C(3,1)×C(9,1)？按「选哪个为 0（3 种），其余两个正整数和为 10」＝ 3×9 ＝ 27；恰有两个为 0：C(3,2)×1 ＝ 3；合计 36＋27＋3 ＝ 66 ✓。两条独立路子都与公式闭合。
答案 ① C(9,2)=36；② C(12,2)=66；③ C(6,2)=15；④ C(10,3)=120。转化：①→② 用 y_i=x_i+1（右端 10→13）；②→③ 用 y_i=x_i−2（右端 10→4）；④ 与②同构，只是 k=4、n=7。① 按 x₁ 枚举 8+7+…+1=36 回验；② 分解为 36+27+3=66 回验。
采分点 ① C(9,2)=36 1 分；② C(12,2)=66 1 分；③ C(6,2)=15 1 分；④ C(10,3)=120 1 分；写出 y_i=x_i+1 且右端改 13 1 分；写出 y_i=x_i−2 且右端改 4 1 分；指出④与②同构 1 分；按 x₁ 枚举得 36 1 分；把 66 分解为 36+27+3 回验 1 分；强调「改公式必须同步改右端」1 分。
易错点 非负解直接套 C(9,2)；x_i≥2 时只减 2 而不减 3×2；把可重组合写成 C(7,4) 或 P(10,3)；变量替换只换公式不改右端；把「恰好一个为 0」算成 3×8；把圆排列与隔板法的「相同/不同元素」混答。
三、规律小结与对照表
| 型 | 识别信号 | 公式 | 本题数值 | 转化 | 独立回验 |
|---|---|---|---|---|---|
| 错排 | 全部不在原位 | D_n=n!Σ(−1)^k/k! | D₄=9, D₅=44 | 递推 D_n=(n−1)(D_{n−1}+D_{n−2}) | 24−1−8−6=9 |
| 错排·递推 | — | D₁=0,D₂=1 | D₃=2 | 逐层代入 | 与容斥一致 |
| 圆排列 | 围圆桌、旋转重合 | (n−1)! | 5!=120 | 固定一人消旋转 | 指定另一人 2/5 相邻 |
| 圆排·相邻 | 两人必须相邻 | (5−1)!×2! | 24×2=48 | 捆成一块 | 48/120=0.4 |
| 圆排·不相邻 | 互补事件 | 120−48 | 72 | 样本空间不变 | 同一圆排空间内 |
| 隔板·正整数 | x_i≥1, 和为10 | C(n−1,k−1) | C(9,2)=36 | y_i=x_i+1 → C(12,2) | 按 x₁ 枚举和 36 |
| 隔板·非负 | x_i≥0 | C(n+k−1,k−1) | C(12,2)=66 | 预借 3 个 | 36+27+3=66 |
| 隔板·下界 | x_i≥2 | y_i=x_i−2, 右端减6 | C(6,2)=15 | 先每人预分 2 | 剩 4 自由分 |
| 可重组合 | 4种取7个不限量 | C(n+k−1,k−1) | C(10,3)=120 | 与非负解同构 | 换 k=4,n=7 |
这一组题的分水岭是先判型：见「都不在原位」想错排（容斥 / 递推 / 按对数扣除三路可互验），见「围成一圈」想 (n−1)! 与捆绑，见「和为定值」想隔板并数清下界。三处最易错：把错排当 4!−1（漏了恰好 1 对、恰好 2 对）、把圆排列当 6!（没消旋转）、变量替换时只改公式不改右端（①→② 右端 10→13，②→③ 右端 10→4）。凡是公式题，都值得再走一条枚举或对称性回验——本题 36 与 66 都各自闭合了两次。所有人数、信封数与取数均为自编示意题设，不代表任何真题原文或官方数据。
四、自测清单
- □ 先按「都不在原位／围成一圈／和为定值」判定型；
- □ 错排至少走容斥与递推两条路，再按对数扣除验一次；
- □ 圆排列先固定一人消旋转，捆绑后记得乘块内 2!；
- □ 相减之前确认互补事件处于同一圆排列样本空间；
- □ 隔板法先写下界：≥1 用 C(n−1,k−1)，≥0 用 C(n+k−1,k−1)；
- □ 变量替换必须同步改右端（≥2 要减 k×2）；
- □ 可重组合认成「k 个非负变量和为 n」；
- □ 最后用枚举或对称性把 36、66 各回验一次。
