题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
平凸透镜放在平玻璃板上，中间是一层厚度从中心向外按 t≈r²/(2R) 增大的空气膜。反射光干涉时，上下两束反射光里有一次半波损失（空气→玻璃的反射多出 λ/2），所以光程差 δ＝2t＋λ/2。暗纹条件 δ＝(2k＋1)λ/2，即 2t＝kλ；代入 t＝r²/(2R) 得
r_m²＝mλR（m＝0,1,2,…），D_m²＝4mλR。中心 t＝0 对应 m＝0，是暗斑——这正是半波损失的直接证据（若按透射光观察，中心反而是亮的）。实际读数不用单环，而用直径平方差：D_m²−D_n²＝4(m−n)λR，因为它把「把第几圈数错一级」这个最常见的系统误差整体消掉。下面读数与 λ 均为自编示意数据。
二、逐题精讲
题1
题1 差值法求 R 与级数免疫（解答题）
自编题设：钠黄光波长 λ＝589.3 nm，某平凸透镜置于平玻璃板上。用读数显微镜测得第 4 级与第 10 级暗环直径分别为 D₄＝3.0706 mm、D₁₀＝4.8551 mm（数据为自编示意，保留四位有效数字）。
(1) 由 D_m²−D_n²＝4(m−n)λR 求曲率半径 R；(2) 若观察者把中心暗斑误记为「第 1 级」，于是把这两环记成第 5 级与第 11 级，R 会变吗？说明理由；(3) 若改用单环法 R＝D₁₀²/(4mλ)，并把第 10 级误记成 m＝11，求 R′ 及相对偏差。
解析
(1) 统一单位：λ＝589.3 nm＝5.893×10⁻⁷ m；直径以 mm 记，先算平方再换 m²。4λR ＝ 4×5.893×10⁻⁷×R（m²），当 R＝1 m 时每级 D² 增量为 4λR＝2.3572×10⁻⁶ m² ＝ 2.3572 mm²。
D₄² ＝ 3.0706² ＝ 9.4288 mm²（＝4×4λR＝16λR）；
D₁₀² ＝ 4.8551² ＝ 23.5720 mm²（＝40λR）；
差 ＝ 23.5720 − 9.4288 ＝ 14.1432 mm² ＝ 1.41432×10⁻⁵ m²，对应 (m−n)＝6。
R ＝ (D₁₀²−D₄²) / [4×6×λ] ＝ 1.41432×10⁻⁵ / (24×5.893×10⁻⁷) ＝ 1.41432×10⁻⁵ / 1.41432×10⁻⁵ ＝ 1.000 m。
自洽回验：由 R＝1.000 m 反推 D₄＝√(16λR)＝√(9.4288)＝3.0706 mm ✓，D₁₀＝√(40λR)＝√(23.5720)＝4.8551 mm ✓，与题给读数闭合。
(2) R 不变，仍为 1.000 m。 因为差值法只用 (m−n)：把两环同时各加 1 级，级数变成 5 与 11，差仍是 11−5＝6；分子 D₁₀²−D₄² 也没变。更一般地，只要所有环的级数同向错记同一个常数（把第 0 级当第 1 级、或漏数一圈），差值法对该误差免疫。这正是实验里优先用平方差而不用单环的原因。但须注意：若错记不是「同向同量」（例如中间漏数一圈导致某一段级数跳变），差值就不再可靠，须回头核对环序。
(3) 单环法仍取 D₁₀²＝23.5720 mm²＝2.35720×10⁻⁵ m²，但把 m 记成 11：
R′ ＝ 2.35720×10⁻⁵ / (4×11×5.893×10⁻⁷) ＝ 2.35720×10⁻⁵ / 2.59292×10⁻⁵ ＝ 0.9091 m。
相对偏差 ＝ (0.9091 − 1.000)/1.000 ＝ −9.09%（恰为 −1/11，因 R′/R＝10/11）。
结论：单环法把全部赌注押在「级数是几」上，错一级就按比例偏；差值法把级数的共同起点消掉了。
答案 (1) R=1.000 m（4λR=2.3572 mm²、D₄²=9.4288 mm²、D₁₀²=23.5720 mm²、差=14.1432 mm²、m−n=6）。(2) 不变：两环同向各加 1 级，差仍为 6，差值法对级数起点误差免疫。(3) R′=0.9091 m，相对偏差 −9.09%（=−1/11）。
采分点 单位换算（nm→m、mm²→m²）1 分；4λR=2.3572 mm² 1 分；两个直径平方各 1 分；差=14.1432 mm² 1 分；代入求得 R=1.000 m 1 分；反推两直径自洽回验 1 分；(2) 指出差值法只依赖 m−n 1 分；说明同向同量错记免疫及例外 1 分；(3) R′=0.9091 m 1 分；相对偏差 −9.09% 并给出 10/11 1 分。
易错点 把 D 的 mm 直接代进公式而不换成 m²；把 m−n 写成 10−4=6 却在单环法里又用 m=10 与 11 混算；说「差值法对任何错记都免疫」；把半波损失讲成「中心是亮的」；把 −9.09% 算成 −10%。
题2
题2 半波损失与两类读数误差的方向（解答题）
(1) 说明为什么反射光牛顿环的接触点（t＝0）是暗斑；若改成观察透射光，中心与暗环条件怎么变？(2) 在题 (1) 的差值法里，若直径读数整体偏大 1.00%（D→1.01D），R 偏多少？若波长取值偏大 1.00%（λ→1.01λ），R 又偏多少？分别说明方向并给出数值。
解析
(1) 反射光的两束相干光分别来自空气膜上表面（玻璃→空气，反射无半波损失）与下表面（空气→玻璃，反射多 λ/2 的相位突变），故光程差 δ＝2t＋λ/2。暗纹要求 δ＝(2k＋1)λ/2 ⇒ 2t＝kλ。在接触点 t＝0，δ＝λ/2，两束反相相消，所以中心是暗斑（k＝0）；若没有半波损失，t＝0 处 δ＝0 应为亮斑——中心暗斑正是半波损失的实验判据。透射光：直接透射光与在膜内往返两次后透射的光之间没有这一次额外的半波损失（两次反射都发生在同一类界面或相位变化相消），光程差为 δ＝2t，故透射的暗纹条件为 2t＝(k＋½)λ，而 t＝0 处为亮。即透射亮环与反射暗环位置重合、互补，条纹对比度通常更弱（透射两束强度差大）。因此用反射暗纹公式 r_m²＝mλR 时，必须确认观察的是反射光；换到透射光不能直接照搬。
(2) 由 R ＝ (D_m²−D_n²)/[4(m−n)λ]，分子是直径平方之差，分母含 λ 一次方。
直径整体偏大 1.00%：D_m² 与 D_n² 都变为 (1.01)²＝1.0201 倍，其差也变为 1.0201 倍，故 R→1.0201R，即偏高 2.01%（R＝1.0201 m）。注意这是平方效应，不是 1.00%；且因是「整体、同比例」偏大，差值法在这里不具免疫性——免疫的只是级数起点的加性错误，不是读数比例的乘性错误。
波长偏大 1.00%：λ 在分母，R→R/1.01＝0.990099R，即偏低约 0.99%（R＝0.9901 m）。
方向小结：D 读大 → R 偏大（且按平方放大）；λ 取大 → R 偏小；级数同向错记 → R 不变。这三类误差性质不同：乘性读数误差、乘性常量误差、加性起点误差，处理手段也分别是校准读数显微镜、核对光源波长、改用平方差。
答案 (1) 反射光 δ=2t+λ/2，t=0 处相消成暗斑；透射光 δ=2t，中心为亮，透射亮环与反射暗环位置重合、互补。(2) D 偏大 1.00% → D²差为 1.0201 倍 → R 偏高 2.01%（1.0201 m）；λ 偏大 1.00% → R 偏低约 0.99%（0.9901 m）；级数同向错记 R 不变。
采分点 写出 δ=2t+λ/2 1 分；说明半波损失来自下表面反射 1 分；t=0 相消得暗斑 1 分；透射光 δ=2t、中心为亮 1 分；透射与反射条纹互补 1 分；D 偏大按 (1.01)²=1.0201 放大 1 分；R 偏高 2.01% 1 分；λ 在分母得 1/1.01=0.990099 1 分；偏低 0.99% 1 分；区分三类误差性质 1 分。
易错点 把半波损失算在空气膜上表面；说透射光也用 r_m²=mλR；把 D 偏大 1% 直接答成 R 偏大 1%（漏平方）；说差值法对读数比例误差也免疫；把 λ 偏大说成 R 偏大；混淆「加性级数误差」与「乘性读数误差」。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式/条件 | 本题取值 | 结果 | 误差性质 | 免疫性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 暗纹条件 | 2t=kλ（反射，含半波损失） | t=r²/(2R) | r_m²=mλR | — | — |
| 接触点 | δ=λ/2 | t=0, k=0 | 暗斑 | 半波损失判据 | — |
| 透射光 | δ=2t | t=0 | 亮，暗纹 2t=(k+½)λ | 与反射互补 | 不共用公式 |
| 每级增量 | 4λR | R=1 m | 2.3572 mm² | 常量 | — |
| 第4级 | D₄²=16λR | 3.0706 mm | 9.4288 mm² | 读数 | — |
| 第10级 | D₁₀²=40λR | 4.8551 mm | 23.5720 mm² | 读数 | — |
| 平方差 | 4(m−n)λR | m−n=6 | 14.1432 mm² → R=1.000 m | 加性级数错记 | 免疫 |
| 单环误记 | D₁₀²/(4·11·λ) | m=11 | 0.9091 m（−9.09%） | 级数错记 | 不免疫 |
| D 偏大 1% | (1.01)²=1.0201 | 分子×1.0201 | R=1.0201 m（+2.01%） | 乘性读数 | 不免疫 |
| λ 偏大 1% | R∝1/λ | 1/1.01 | R=0.9901 m（−0.99%） | 乘性常量 | 不免疫 |
牛顿环这条线，落点是「为什么用差而不用单环」：r_m²＝mλR 里的 m 是从中心暗斑数起的级数，最容易整段错记一级；平方差 D_m²−D_n²＝4(m−n)λR 把这个共同的起点减掉了，所以对「同向同量」的级数误记免疫，对读数比例误差却不免疫（D 偏 1% 会把 R 抬 2.01%）。三件事分开记：半波损失让反射中心成暗斑、透射中心成亮；λ 在分母，取大则 R 偏小；单环法把全部精度押在一个 m 上。本组 λ、直径读数与 R 均为自编示意数据，不代表任何真实光源波长、器件参数或测量结果。
四、自测清单
- □ 先由「反射还是透射」确定 δ 是否含 λ/2；
- □ 确认中心暗斑对应 m=0，级数从它数起；
- □ 直径 mm 先平方、再统一换成 m² 才代公式；
- □ 优先用 D_m²−D_n² 与 m−n，不用单环；
- □ 检查错记是否为「同向同量」，否则差值法失效；
- □ D 的误差按平方放大，λ 的误差按倒数传导；
- □ 最后用 R 反推两个直径，与题给读数闭合。
