题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
四个均值写成一列最不容易乱：H = 2ab/(a+b)，G = √(ab)，A = (a+b)/2，Q = √((a²+b²)/2)。对任意正数恒有 H ≤ G ≤ A ≤ Q，且四个等号同时成立当且仅当 a = b。
取自编示意 a = 4、b = 9，四个值都要按题面参数现算；数值为示意取数，不代表任何真实统计量。
二、逐题精讲
题1
题1 求 a = 4、b = 9 的 H、G、A、Q，并验证链条。
解析
H = 2×4×9/(4+9) = 72/13 = 5.5385；G = √36 = 6.0000；A = (4+9)/2 = 6.5000；Q = √((16+81)/2) = √48.5 = 6.9642。
逐项比较：5.5385 ≤ 6.0000 ≤ 6.5000 ≤ 6.9642，链条成立。四者互不相等，说明 a ≠ b 时等号一个都取不到。Q − H = 6.9642 − 5.5385 = 1.4257，可作为两数离散程度的示意量。
答案 H=5.5385、G=6.0000、A=6.5000、Q=6.9642；H ≤ G ≤ A ≤ Q 成立，Q−H=1.4257。
采分点 四个均值各 1 分、链条验证 1 分、等号条件 1 分、差值 1 分。
易错点 把 Q 写成 (a+b)/2 的算术平均，或把 H 写成 √ab。
题2
题2 若改取 a = b = 4，四个均值各是多少？此时 Q − H 为多少？
解析
a = b = 4 时：H = 2×16/8 = 4.0000，G = √16 = 4.0000，A = 8/2 = 4.0000，Q = √((16+16)/2) = 4.0000，四者同为 4.0000，Q − H = 0.0000。
这正好验证「等号同时成立当且仅当 a = b」：只要两数不等，Q − H 就严格大于 0，本题 a=4、b=9 时是 1.4257。
答案 四者同为 4.0000，Q−H=0.0000；等号条件为 a=b。
采分点 四个均值 2 分、差值 1 分、等号条件 2 分、与题1 对照 1 分。
易错点 认为「a=b 时只有 G=A 相等」，漏掉 H 与 Q。
三、规律小结与对照表
| 均值 | 表达式 | a=4,b=9 | a=b=4 |
|---|---|---|---|
| 调和 H | 2ab/(a+b) | 5.5385 | 4.0000 |
| 几何 G | √(ab) | 6.0000 | 4.0000 |
| 算术 A | (a+b)/2 | 6.5000 | 4.0000 |
| 平方 Q | √((a²+b²)/2) | 6.9642 | 4.0000 |
小结：四个均值按 H ≤ G ≤ A ≤ Q 排队，等号只在 a=b 时同时取到；Q−H 可作离散程度的示意量，换一组数就换一个值。
四、自测清单
- 能写出四个均值表达式
- 能按 a=4,b=9 算出四个值
- 能验证链条不等号
- 能说明等号同时成立的条件
- 能回代 Q−H
- 能说明 a=b 时四者为何全等
