联招数学·对勾函数 y=x+a/x：基本不等式的等号条件带符号

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

x > 0 时，x + a/x ≥ 2√a，等号在 x = √a 取到；这个「最小值」结论的成立前提就是 x > 0。把同一套话搬到 x < 0，不等号方向会反过来，x = −√a 处得到的反而是局部最大值。

自编示意：f(x) = x + 4/x，先取 x > 0，再在区间 [1, 3] 与负半轴各查一遍。函数与参数均为自拟示意，不代表真实测量。

二、逐题精讲

题1

题1　求 x>0 时的最小值与单调区间，并求 [1,3] 上的最大、最小值。

解析

由基本不等式 x + 4/x ≥ 2√4 = 4.0000，等号在 x = √4 = 2.0000。也可由 f′(x) = 1 − 4/x² 验证：f′ < 0 当 0 < x < 2.0000，f′ > 0 当 x > 2.0000，故减区间 (0, 2.0)、增区间 (2.0, +∞)。在 [1, 3] 上只需比三点：f(1) = 1 + 4/1 = 5.0000，f(2) = 4.0000，f(3) = 3 + 4/3 = 4.3333。最小 4.0000（在 x=2）、最大 5.0000（在 x=1）。注意 4.3333 大于最小但小于最大，不能只比两个端点就下结论——区间内含驻点时驻点必须参与比较。

答案　最小值 4.0000 于 x=2.0000；减 (0,2.0)、增 (2.0,+∞)；[1,3] 上最小 4.0000、最大 5.0000。

采分点　基本不等式 1 分、等号条件 1 分、导数定区间 1 分、三点取值 1 分、最大最小各 1 分、驻点参与比较 1 分。

易错点　在闭区间上只比两个端点，漏掉区间内的驻点。

题2

题2　把「最小值 −4」套到负半轴会出什么问题？若把 a 误读成 9 呢？

解析

负半轴上 x = −2.0 时 f(−2) = −2 + 4/(−2) = -4.0000；再看 x = -1 得 -5.0000、x = −3 得 −4.3333，都小于 -4.0000，所以 -4.0000 是**局部最大值**而非最小值。根子在等号条件：x + a/x ≥ 2√a 要求 x > 0；x < 0 时应写成 x + a/x ≤ −2√a，方向反过来。因此 x = ±2.0 的符号可作为报警量，看到「最小值 −4」先查定义域符号，不能凭对称性照搬。另一类错是把 a 误读成 9：最小值变 2√9 = 6.0000、等号点 x = 3.0，相对 4.0000 偏大 (6.0000−4.0000)/4.0000 = 50.0%；这时 f′(x) = 1 − 9/x² 的驻点也跟着移到 3.0，用导数式回代即可当场拦下，不必等算完闭区间。

答案　负半轴 -4.0000 是局部最大，因不等号方向反转；a 误读 9 得 6.0000、偏大 50.0%，导数驻点可拦下。

采分点　负半轴取值 1 分、局部最大判定 1 分、不等号方向 1 分、符号报警 1 分、误读结果 1 分、导数回代 1 分。

易错点　看到 ±2 对称就把正半轴结论整个照搬到负半轴。

三、规律小结与对照表

小结：基本不等式的最小值是 x>0 的结论，负半轴方向反转；闭区间要连驻点一起比，a 读错可用导数驻点当场拦下。

四、自测清单

• 能用基本不等式求正半轴最小值
• 能用导数定增减区间
• 能在闭区间连驻点一起比较
• 能说明负半轴不等号反转
• 能用等号条件符号作报警
• 能回代 a 读错后的偏差