联招数学·独立性检验 K²：交叉乘积差才是敏感量，对调两格不报警 - 例题精讲

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例题精讲 · 第 00778 题 · 先算 ad−bc，再和临界值比，别先下结论

以自编示意 2×2 列联表为材料，用 K²=n(ad−bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] 判断是否有关联，并回代对调两格与改动一格时 K² 的变化。

00778题号全 1000 篇 · 第第130轮 / 第130册轮

方向数学·导数与解三角形六向之一

题型自编仿真题逐题精讲 · 采分点拆解

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

例题精讲 · 数学导数与解三角形

一、考点定位与做题顺序

独立性检验的结论只由 K² 与临界值的比较给出，不要先看占比就下判断。K² 的分子里最关键的是 ad − bc：它衡量「两行两列是否成比例」，成比例时该项为 0，K² 也为 0。

自编示意 2×2 列联表：A 类支持 40 / 不支持 20，B 类支持 30 / 不支持 30，合计 n = 120。数据为自拟示意统计，不代表真实调查。

二、逐题精讲

题1

题1　求 K²，并与 95%、99% 临界值比较给出结论。

解析

四个边际和：a+b = 60，c+d = 60，a+c = 70，b+d = 50，n = 120。交叉乘积差 ad − bc = 40×30 − 20×30 = 1200 − 600 = 600，平方 360000。K² = 120×360000 / [(60)(60)(70)(50)] = 43200000 / 12600000 = 3.4286。与临界值比：3.4286 < 3.841（95% 把握），也 < 6.635（99% 把握），所以没有充分证据认为两类与态度有关联。注意结论只能写「不能认为有关」，不能写「证明无关」；K² 小只说明证据不足。

答案　K² = 3.4286 < 3.841 < 6.635；不能认为两变量有关联（不是证明无关）。

采分点　四个边际和 1 分、ad−bc 1 分、分子 1 分、分母 1 分、K² 值 1 分、临界值比较与措辞 1 分。

易错点　把「不能认为有关」写成「证明两者无关」，或把临界值大小顺序颠倒。

题2

题2　若把 b 与 c 对调，K² 变不变？若把 d 由 30 改为 20 呢？说明哪个量是报警量。

解析

对调 b、c 后，ad − bc = 40×30 − 30×20 = 1200 − 600 = 600，与原来完全相同；四个边际和也只是两两互换，乘积不变，故 K² 仍 3.4286。这说明按「只看合计」或「只看 K² 数值」核不出这种抄录错，必须回到原始四格。把 d 改成 20 则不同：n′ = 110，ad − bc = 40×20 − 20×30 = 200，边际和变为 60、50、70、40，K²′ = 110×40000/8400000 = 0.5238，明显下降。所以敏感量是交叉乘积差 ad − bc 与四格本身；K² 是它的函数，对调两格恰好是这个函数的一个对称变换。报警时逐格核对边际和与 ad − bc 两项，比只报一个 K² 更稳。

答案　对调 b、c：K² 仍 3.4286；d 改 20：K² = 0.5238；报警量是 ad−bc 与四格原始值。

采分点　对调后交叉差 1 分、K² 不变 1 分、对称性说明 1 分、改 d 后交叉差 1 分、新 K² 1 分、报警量归属 1 分。

易错点　看到 K² 没变就判定「四格一定抄对了」，忽略对调对称变换。