联招数学·阿波罗尼斯圆：距离比为定值的轨迹与面积

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

两点距离比为非 1 常数时，动点轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）。做法是把 |PA| = k|PB| 两边平方，展开后按 x、y 配方；比值 k=1 时退化为中垂线，是唯一要单列的情形。

取自编示意 A(−3, 0)、B(3, 0)、k = |PA|/|PB| = 2；坐标与比值为示意取数。

二、逐题精讲

题1

题1　求轨迹方程、圆心、半径与面积。

解析

设 P(x, y)，由 (x+3)² + y² = 4[(x−3)² + y²]，展开得 x² + 6x + 9 + y² = 4x² − 24x + 36 + 4y²，移项得 3x² − 30x + 3y² + 27 = 0，除以 3 得 x² − 10x + y² + 9 = 0。

配方为 (x − 5)² + y² = 16，圆心 (5, 0)、半径 4，面积 π·4² = 16π = 50.27。圆心到 A 的距离为 5 − (−3) = 8。

答案　(x−5)²+y²=16；圆心 (5,0)、半径 4；面积 16π=50.27；圆心到 A 距离 8。

采分点　平方展开 2 分、化简配方 2 分、圆心半径 1 分、面积 1 分、心 A 距离 1 分。

易错点　忘记两边平方时 k 要平方成 4，或配方时常数项搬错符号。

题2

题2　求圆上点到 A 的最近与最远距离，并验证比值仍为 2。

解析

圆心 (5,0) 到 A(−3,0) 距离 8，半径 4，故最近 8 − 4 = 4（点 (1,0)），最远 8 + 4 = 12（点 (9,0)），两者之比 12/4 = 3.0。

回代验证：P=(1,0) 时 |PA|=4、|PB|=2，比值 2；P=(9,0) 时 |PA|=12、|PB|=6，比值仍为 2。注意「到 A 的最远／最近比 3.0」与「|PA|/|PB| = 2」是两个不同比值，不能互相套用。

答案　最近 4、最远 12，比 3.0；两点回代 |PA|/|PB| 均为 2。

采分点　最近距离 1 分、最远距离 1 分、比值 2 分、两点回代 1 分、口径区分 1 分。

易错点　把「到 A 的最远比 3.0」当成轨迹的定值比 2。

三、规律小结与对照表

小结：距离比先平方再配方；k=1 单列中垂线。「到定点的最远比」与「轨迹定值比」是两个口径，回代时分开报。

四、自测清单

• 能写出平方后的方程
• 能正确配方得圆心半径
• 能算圆面积
• 能求到定点最近最远距离
• 能用两点回代验证定值比
• 能区分两个不同比值