题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
焦点三角形把定义、余弦定理、面积公式串在一起：|PF₁| + |PF₂| = 2a 给和，余弦定理给 |F₁F₂|² = (2c)²，两式联立能解出 mn，再用 ½mn sinθ 求面积；另有捷径 S = b²·tan(θ/2)。两法互验最稳。
取自编示意椭圆 x²/25 + y²/9 = 1，a = 5、b = 3、c = 4、e = 0.8，∠F₁PF₂ = 60°；参数为示意取数。
二、逐题精讲
题1
题1 用两法求焦点三角形面积并互验。
解析
法一：S = b²·tan(θ/2) = 9·tan30° = 9/√3 = 3√3 = 5.196。
法二：设 m = |PF₁|、n = |PF₂|，m + n = 2a = 10，(m+n)² = 100。余弦定理 m² + n² − mn = (2c)² = 64。两式相减得 3mn = 36，mn = 12，故 S = ½·12·sin60° = 5.196，与法一闭合。
答案 S=5.196；两法分别由 b²tan(θ/2) 与 mn=12 的 ½mn sinθ 得到。
采分点 法一 2 分、和式 1 分、余弦定理 1 分、mn 1 分、法二与互验 1 分。
易错点 把 |F₁F₂| 写成 c 而非 2c，或把 60° 的余弦写成 1/2 却漏掉系数 2。
题2
题2 求离心率；若把 c 误算成 √(a²+b²)，会出什么报警？
解析
正确 c = √(a²−b²) = √(25−9) = 4，e = c/a = 4/5 = 0.8，满足 0 < e < 1。
误取 c′ = √(a²+b²) = √34 = 5.831，则 e′ = 5.831/5 = 1.166，已大于 1，超出椭圆离心率范围，比正确值偏高 45.8%。e > 1 本身就是最直接的报警信号，不必等答案对不上才发现。
答案 e=0.8；误算得 e′=1.166、偏高 45.8%，e>1 越界即报警。
采分点 c 与 e 各 1 分、误算 c′ 1 分、e′ 1 分、偏高 1 分、越界报警 1 分。
易错点 把椭圆的 c²=a²−b² 记成双曲线的 c²=a²+b²。
三、规律小结与对照表
| 量 | 正确表达式 | 本题值 | 误算值 |
|---|---|---|---|
| c | √(a²−b²) | 4 | 5.831 |
| e | c/a | 0.8 | 1.166 |
| mn | 由两式相减 | 12 | — |
| S | b²tan(θ/2) | 5.196 | — |
小结：焦点三角形用「和 + 余弦定理」解 mn，再用 b²tan(θ/2) 互验；e>1 是椭圆题的即时报警。
四、自测清单
- 能写出 2a 与 2c
- 能用余弦定理联立求 mn
- 能用两法互验面积
- 能正确算 c 与 e
- 能识别 e>1 的越界报警
- 能算误算后的偏高
