题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
含 e^x 与多项式的函数，驻点往往解不出初等闭式，但「设而不求」够用：设 f′(x₀)=0 得 e^(x₀)=2，把这个关系代回 f(x₀)，超越式就降成一次式，符号立刻可判，不必算出 x₀ 的近似值也能推进证明。
取自编示意 f(x) = e^x − 2x − 1（x ≥ 0）；函数与取数为示意设定。
二、逐题精讲
题1
题1 求驻点条件，用设而不求判定 f(x₀) 的符号，并说明单调区间。
解析
f′(x) = e^x − 2，令其为 0 得 e^(x₀) = 2，即 x₀ = ln2 = 0.6931，是唯一驻点。x < x₀ 时 f′ < 0，x > x₀ 时 f′ > 0，故先减后增。
设而不求：由 e^(x₀) = 2 代回 f(x₀) = 2 − 2x₀ − 1 = 1 − 2x₀。因 x₀ = 0.6931 > 0.5，故 1 − 2x₀ < 0，精确值为负 0.3863。全程只用 e^(x₀)=2 这一个关系，没有解超越方程。
答案 x₀=ln2=0.6931；f(x₀)=1−2x₀=负 0.3863；先减后增，x₀ 处取最小值。
采分点 导数与驻点 2 分、唯一性 1 分、代回降次 2 分、符号判定 1 分、单调区间 1 分。
易错点 硬去解 e^x=2x 之类的错方程，或把 e^(x₀)=2 代回时漏掉 −1。
题2
题2 求 f(2)；若把 e 粗略取成 2.70，估算值偏低多少？
解析
f(2) = e² − 5 = 7.3891 − 5 = 2.3891。粗略取 e ≈ 2.70 时得 2.70² − 5 = 7.29 − 5 = 2.29，比 2.3891 偏低 (2.3891 − 2.29)/2.3891 = 4.1%。
本题 e 的取位只影响数值估算，不影响题1 的符号结论——设而不求的优势正在于此：符号由结构关系决定，与近似取值无关。
答案 f(2)=2.3891；取 e≈2.70 得 2.29，偏低 4.1%；符号结论不受取位影响。
采分点 精确值 2 分、粗估值 1 分、偏低 1 分、结构说明 2 分。
易错点 把粗略取值的偏差当成题1 符号结论不成立。
三、规律小结与对照表
| 步骤 | 用到的关系 | 本题值 | 是否需解出 x₀ |
|---|---|---|---|
| 求导 | f′(x)=e^x−2 | x₀=0.6931 | 否 |
| 代回降次 | e^(x₀)=2 | 1−2x₀ | 否 |
| 定符号 | x₀>0.5 | 负 0.3863 | 否 |
| 端点值 | f(2)=e²−5 | 2.3891 | 需取 e |
小结：隐零点用驻点关系代回降次，符号由结构定；数值估算的取位误差不改符号结论。
四、自测清单
- 能写出 f′(x) 与驻点条件
- 能说明驻点唯一
- 能用 e^(x₀)=2 代回降次
- 能不靠近似值定符号
- 能算 f(2) 与粗估偏低
- 能说明取位误差为何不影响符号
