题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
射影定理 a = b cos C + c cos B 是余弦定理的线性写法，三式循环成立，最适合拿来当「算完立刻自检」的工具。 本讲把余弦值、射影和、面积、高串成一条闭合链；只要有一处不回到 7.00，就说明中间某步取位或符号出了问题。二、逐题精讲
题1
自编示意 △ABC 中 a=7.00、b=5.00、c=8.00。求 cos B、cos C，并用射影定理验证 a。解析
cos B = (a²+c²−b²)/(2ac) = (49+64−25)/112 = 88/112 = 0.785714；cos C = (a²+b²−c²)/(2ab) = (49+25−64)/70 = 10/70 = 0.142857。 射影 b cos C + c cos B = 5×0.142857 + 8×0.785714 = 0.714286 + 6.285714 = 7.00，恰回到 a。若把 cos B 误配给 b 边，射影和会偏离 7.00，可即时报警。答案 cos B=0.785714，cos C=0.142857；射影和 7.00=a，闭合。
采分点 两余弦各 3 分；射影式 2 分；回代闭合 2 分。
易错点 余弦定理分母要用夹角的两邻边之积的 2 倍，错用 2ab 求 cos B 会直接破坏闭合。
题2
同三角形，用海伦公式求面积，再用 0.5ac sin B 复核，并求 a 边上的高。解析
半周长 s=(7+5+8)/2=10.00；海伦 S=√(10×3×5×2)=√300=17.320508。 另一路 sin B=√(1−0.785714²)=0.618590，0.5×7.00×8.00×0.618590=17.320508，与海伦一致，说明余弦值没有取位漂移。高 h=2S/a=34.641016/7.00=4.948717。答案 S=17.320508，两路一致；h=4.948717。
采分点 半周长 1 分；海伦 3 分；正弦面积 3 分；高 2 分；两路一致性 1 分。
易错点 把 √300 取成 17.32 后一路回代，另一路用全精度，会出现「看着差不多」却不是同一个数的假闭合。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立复核路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| cos B | (49+64−25)/112 | 由 sin B 反解 | 0.785714 |
| cos C | (49+25−64)/70 | 由射影式反解 | 0.142857 |
| 射影和 | 5cosC+8cosB | 应回到 a | 7.00 |
| 面积 | √(10×3×5×2) | 0.5×7×8×sin B | 17.320508 |
| a 边高 | 2S/a | S/(0.5a) | 4.948717 |
解三角形最省时的检查是「另一条公式再算一遍」：余弦↔射影、海伦↔正弦面积，两条路必须给出同一个数而不是相近的数。三边参数为自编示意。
四、自测清单
- 半周长是否为 10.00
- 余弦定理分母是否用夹角两邻边
- 射影和是否精确回到 7.00
- 海伦根号内是否为 300
- 正弦面积是否与海伦同值
- sin B 是否由 cos B 精确反解
- 高是否用 2S/a 而非 S/a
- 两路结果是否写明「同值」而非「相近」
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：半周长 = 10；cos B = 0.785714；cos C = 0.142857；射影和 = 7；海伦面积 = 17.320508；a 边高 = 4.948717。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只做三边给定下的闭合互验；角平分线与 Stewart 定理、阿波罗尼斯圆、极化恒等式、焦点三角形面积属相邻板块，其已知条件不同，不并入本讲回代链。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
