题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
由 S_n 求 a_n 的标准动作是「n≥2 用差、n=1 用 S₁」，最后一定要把 n=1 代回差式看是否吻合。 本讲先算一个恰好吻合的例子，再给一个常数项不为零的反例，把「什么时候要分段」说清楚。二、逐题精讲
题1
自编示意数列前 n 项和 S_n=2n²+3n。求 a₁、a_n（n≥2）、a₅ 与 S₅，并检验 n=1 是否吻合。解析
a₁=S₁=2×1+3×1=5。n≥2 时 a_n=S(n)−S(n−1)=(2n²+3n)−(2(n−1)²+3(n−1))=4n+1。 把 n=1 代回 4n+1 得 5，与 S₁ 一致，故可合并写成 a_n=4n+1。a₅=4×5+1=21，S₅=2×25+15=65；按等差求和 5×(5+21)/2=65，两路闭合。答案 a₁=5；a_n=4n+1；a₅=21；S₅=65；n=1 吻合，无需分段。
采分点 S₁ 2 分；作差化简 3 分；n=1 检验 2 分；a₅ 与 S₅ 各 1 分；等差互验 1 分。
易错点 直接写 a_n=S(n)−S(n−1) 而不验 n=1，遇到常数项不为零的和式就会漏掉分段。
题2
若把题设改成 S_n=2n²+3n+1，通项还写成 4n+1 吗？应如何表达？解析
此时 S₁=2+3+1=6，而 4×1+1=5，两者不等，说明差式在 n=1 失效。 正确写法是分段：a₁=6，n≥2 时 a_n=4n+1。因为常数项只影响第一项，从第二项起差分结果不变；这也解释了为什么「验 n=1」不能省。答案 不能；须写成 a₁=6，n≥2 时 a_n=4n+1。
采分点 S₁ 改值 2 分；不一致的判定 3 分；分段表达 3 分；常数项只影响首项 2 分。
易错点 把分段写成「n>1 时 4n+1，n=1 时也 4n+1 再加 1」，看似补了差，实则仍没写清定义域。
三、规律小结与对照表
| 量 | 由 S_n 作差 | 独立复核 | 结果 |
|---|---|---|---|
| a₁ | S₁ | 差式代 n=1 | 5 |
| a_n（n≥2） | S(n)−S(n−1) | 4n+1 | 通项 |
| a₅ | 4×5+1 | S₅−S₄ | 21 |
| S₅ | 2×25+15 | 5×(5+21)/2 | 65 |
| 反例 S₁ | 2+3+1 | 差式给 5 | 6，须分段 |
| a₁₀ | 4×10+1 | S₁₀−S₉ | 41 |
通项题的分水岭是 n=1：吻合就合并，不吻合就分段。和式、各项数值与反例均为自编示意。
四、自测清单
- 是否先算 S₁
- 作差时 S(n−1) 是否整体代入
- n=1 是否代回差式检验
- a₅ 是否用通项求
- S₅ 是否两路互验
- 等差求和是否用 5×(5+21)/2
- 反例是否给出分段写法
- 是否说明常数项只影响首项
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：S1 = 5；a5 = 21；S5 = 65；a10 = 41；反例 S1 = 6；反例首项差值 = 1。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理由 S_n 求 a_n 与首项检验；裂项与错位相减、递推数列求通项、归纳法证明与分组分配属相邻板块，其求和方法不同。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
