题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
含参恒成立最稳的做法是把参数单独留在一边：a ≤ g(x) 恒成立等价于 a 不超过 g(x) 在区间上的最小值。 本讲把「分离—求最值—端点取等—判别式复核—反例报警」五步走完，特别检查最小值是否在区间内部取到。二、逐题精讲
题1
自编示意：x²−a x+4≥0 对一切 x∈[1,3] 成立，求 a 的最大值。解析
x>0，分离得 a ≤ (x²+4)/x = x+4/x = g(x)。g′(x)=1−4/x²，令其为 0 得 x=2，落在 [1,3] 内；端点 g(1)=5、g(3)=4.333333，驻点 g(2)=4.0000 为最小。 故 a ≤ 4.0000，a 的最大值为 4。若驻点落在区间外，最小值就要改在端点取，本题恰好内点取等。答案 a 的最大值为 4（g 在 x=2 取最小值 4.0000）。
采分点 分离变形 3 分；求导与驻点 2 分；三处函数值 2 分；最小值判定 2 分；结论 1 分。
易错点 只代两个端点就下结论，会漏掉 x=2 这个真正的最小点；也别把 a ≤ g 写成 a ≥ g。
题2
用判别式与一个代入反例验证 a=4 是边界，并说明 a=4.5 为何不成立。解析
a=4 时 x²−4x+4=(x−2)²≥0，判别式 16−16=0，恰在 x=2 取等，与最小值口径一致。 取 a=4.5，代入 x=2 得 4−9+4=−1，负 1 小于 0，恒成立立即被否；这说明边界再往上一点就会在内点破功，而不是在端点先破。答案 a=4 判别式 0 且 (x−2)²≥0；a=4.5 时 x=2 处为负 1，不成立。
采分点 完全平方 3 分；判别式 2 分；反例代入 3 分；内点先破的说明 2 分。
易错点 把判别式写成 b²−4ac 时代错符号，或用 x=1 去验 a=4.5（此时仍为正），都会得出错误结论。
三、规律小结与对照表
| 检验点 | g(x)=x+4/x | x²−a x+4 | 判定 |
|---|---|---|---|
| 端点 x=1 | 5 | 5−a | 非最小 |
| 驻点 x=2 | 4.0000 | 8−2a | 最小，取等 |
| 端点 x=3 | 4.333333 | 13−3a | 非最小 |
| a=4 判别式 | — | 0 | 边界闭合 |
| a=4.5 代入 x=2 | — | 负 1 | 不成立 |
分离参数后一定要问「最小值在哪一点取到」；判别式与代入反例是两条独立的回验路。函数、区间与参数均为自编示意。
四、自测清单
- 分离时是否保证 x>0
- g′(x) 是否为 1−4/x²
- 驻点 x=2 是否落在 [1,3] 内
- 三个函数值是否都列出
- 最小值是否取 4.0000 而非 5
- a=4 时判别式是否为 0
- a=4.5 是否在 x=2 处为负
- 是否说明内点先破而非端点先破
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：g(1) = 5；g(2) = 4；g(3) = 4.333333；a=4 时判别式 = 0；a=4.5 时负值的绝对值 = 1；端点与驻点之差 = 1。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲处理恒成立下的参数上界；导数隐零点设而不求、含参三次函数分类、分段函数含参零点与对勾函数单调区间属相邻板块，其边界条件不同。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
