题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
圆上动点到直线的最短距离是 |d−r|，但只有当 d>r 时才能写成 d−r；d<r 时直线已割圆，最短距离是 0。 本讲用同一圆心配两条直线，把相离与相交两种情形并排放，避免把 d−r 套出负数还照抄。二、逐题精讲
题1
自编示意圆 (x−1)²+(y−2)²=4，直线 l₁: 3x+4y−24=0。求圆心到 l₁ 的距离，判断位置关系，并求圆上点到 l₁ 的最短与最远距离。解析
圆心 C(1,2)，r=2.00。d=|3×1+4×2−24|/√(3²+4²)=|−13|/5=2.600000。 d>r，直线与圆相离，最短 d−r=2.600000−2.00=0.600000，最远 d+r=4.600000。若把 13 写成 3+8−12=1，d 会变成 0.200000，结论整体翻转。答案 d=2.600000，相离；最短 0.600000，最远 4.600000。
采分点 距离公式 3 分；分子绝对值 2 分；位置关系 2 分；两距离 3 分。
易错点 漏掉分母 5 或把绝对值写成带符号的负 13，都会让 d 失真。
题2
把直线改为 l₂: 3x+4y−12=0，求圆心距与弦长；说明为何此时不能再写 d−r。解析
d₂=|3+8−12|/5=1/5=0.200000，小于 r=2.00，直线割圆，圆上存在落在直线上的点，最短距离为 0。 弦长按垂径定理 2√(r²−d²)=2√(4−0.04)=3.979950，半弦为 1.989975；若把半弦先取位再乘会得 3.979949，差一位取位。若机械套 d−r 会得负 1.800000，这个负值应当作「已相交、口径需切换」的报警信号，而不是照抄成距离。答案 d₂=0.200000；弦长 3.979950；此时最短距离为 0，不能写 d−r。
采分点 圆心距 2 分；相交判定 2 分；垂径定理 3 分；弦长 2 分；报警口径 1 分。
易错点 把弦长写成 √(r²−d²) 漏乘 2，或把负的 d−r 取绝对值当最短距离，都是典型误用。
三、规律小结与对照表
| 情形 | 圆心距 | 位置关系 | 结果 |
|---|---|---|---|
| l₁ 相离 | 2.600000 | d>r | 最短 0.600000 |
| l₁ 最远 | 2.600000 | d+r | 4.600000 |
| l₂ 相交 | 0.200000 | d<r | 最短 0 |
| l₂ 半弦 | √(4−0.04) | 垂径 | 1.989975 |
| l₂ 弦长 | 2×半弦 | 垂径 | 3.979950 |
| 报警量 | d₂−r | 负 1.800000 | 口径切换 |
求最短距离前先判 d 与 r 的大小；出现负的 d−r 不是算错，是提醒改用相交口径。圆与直线参数均为自编示意。
四、自测清单
- 圆心是否取 (1,2)
- 距离公式分母是否为 5
- 分子是否取绝对值
- d₁ 是否大于 r
- 最短与最远是否分别用 d−r 与 d+r
- d₂ 是否小于 r
- 弦长是否乘 2
- 是否说明负值触发口径切换
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：圆心距 l1 = 2.6；最短距离 l1 = 0.6；最远距离 l1 = 4.6；圆心距 l2 = 0.2；半弦长 = 1.989975；弦长 = 3.97995。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理点到直线距离与直线和圆的位置关系；直线与圆的最值、抛物线焦点弦、阿波罗尼斯圆与射影定理三式互验属相邻板块，其条件不同。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
