题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
三次函数图象关于其拐点中心对称；拐点横坐标由 f″(x)=0 给出，也恰好是两极值点横坐标的中点。 本讲把两条路各走一遍，再用 f(中心+t)+f(中心−t) 是否恒定作第三次验证。二、逐题精讲
题1
自编示意 f(x)=x³−3x²+5。求两极值点、两极值，以及二阶导数零点处的函数值。解析
f′(x)=3x²−6x=3x(x−2)，驻点 x=0、x=2；f(0)=5、f(2)=8−12+5=1，故极大值 5、极小值 1，极值差 4。 f″(x)=6x−6，零点 x=1，f(1)=1−3+5=3。两极值点中点 ((0+2)/2,(5+1)/2)=(1,3)，与拐点完全一致。答案 极值点 x=0（极大 5）、x=2（极小 1）；f″ 零点 x=1，f(1)=3。
采分点 求导 2 分；两驻点 2 分；两极值 2 分；二阶零点 2 分；中点 2 分。
易错点 把 f′(x) 写成 3x²−3x，或把中点横坐标算成 (0+2)/3，都会让两路不重合。
题2
验证 (1,3) 确为对称中心：取 t=0.5 计算 f(1.5)+f(0.5)，并写出一般恒等式。解析
f(1.5)=1.5³−3×1.5²+5=3.375−6.750+5=1.625；f(0.5)=0.125−0.750+5=4.375；两者之和 6.000000，恰等于 2×f(1)=2×3=6。 一般地 f(1+t)=t³−3t+3、f(1−t)=−t³+3t+3，相加恒为 6，与 t 无关，故 (1,3) 是对称中心；这条恒等式也反过来验证 f(1)=3 没算错。答案 f(1.5)+f(0.5)=6；一般恒为 f(1+t)+f(1−t)=6=2f(1)。
采分点 两点函数值 3 分；和为 6 2 分；一般式 3 分；结论 2 分。
易错点 只代一个 t 就下结论不够，必须写出与 t 无关的一般式；也别把和写成 2f(0)=10。
三、规律小结与对照表
| 量 | 路径一 | 路径二 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 极大点 | f′=0 得 x=0 | f(0)=5 | 5 |
| 极小点 | f′=0 得 x=2 | f(2)=1 | 1 |
| 中心横坐标 | f″=0 得 1 | (0+2)/2 | 1 |
| 中心纵坐标 | f(1)=3 | (5+1)/2 | 3 |
| 对称和 | f(1+t)+f(1−t) | 2f(1) | 6 |
| 极值差 | 5−1 | — | 4 |
三次函数的中心对称不是巧合：拐点、极值中点与 f(1+t)+f(1−t) 三条路必须给出同一个 (1,3)。函数系数为自编示意。
四、自测清单
- f′(x) 是否为 3x²−6x
- 两驻点是否为 0 与 2
- 两极值是否为 5 与 1
- f″(x) 是否为 6x−6
- 中心横坐标是否两路同为 1
- 中心纵坐标是否两路同为 3
- 一般恒等式是否不含 t
- 极值差是否为 4
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：极大值 = 5；极小值 = 1；中心横坐标 = 1；中心纵坐标 = 3；对称和 = 6；极值差 = 4。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理三次函数的拐点与中心对称；含参三次函数分类、导数隐零点设而不求、构造函数余项与分段函数含参零点属相邻板块，其条件不同。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
