联招数学·二项分布与超几何分布：期望相同，方差差一个校正因子

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

有放回抽 n 次是二项 B(n, p)，无放回抽 n 次是超几何。两者期望都是 np，方差只差一个有限总体校正因子 (N−n)/(N−1)：Var超 = np(1−p)·(N−n)/(N−1)。因子小于 1，所以无放回的方差更小。

自编示意：总体 N = 20 件，其中 M = 8 件次品，p = M/N = 0.4，抽取 n = 5 件；参数为示意取数。

二、逐题精讲

题1

题1　求两种模型的期望、方差与方差比。

解析

E = np = 5×0.4 = 2.0，两种模型相同。Var二项 = np(1−p) = 5×0.4×0.6 = 1.20。

有限总体校正因子 (N−n)/(N−1) = 15/19 = 0.7895，Var超几何 = 1.20×15/19 = 0.9474。方差比按题面原始参数回代为 1.20/(1.20×15/19) = 19/15 = 1.2667，即二项模型比无放回高约四分之一。

答案　E=2.0；Var二项=1.20、Var超几何=0.9474；校正因子 0.7895，方差比 1.2667。

采分点　期望 1 分、二项方差 1 分、校正因子 2 分、超几何方差 1 分、方差比 1 分。

易错点　把校正因子写成 (N−n)/N，或以为两种模型方差也相同。

题2

题2　若把校正因子误写成 (N−n)/N = 0.75，方差与方差比各偏差多少？

解析

误写后 Var = 1.20×0.75 = 0.90，方差比 1.20/0.90 = 1.3333，比正确的 1.2667 偏高 5.3%。

错因是分母用了 N = 20 而不是 N − 1 = 19。校验办法：因子必须写成 (N−n)/(N−1)，当 n = 1 时因子为 (N−1)/(N−1) = 1，单次抽取两者方差本应相同；用 0.75 的写法在 n=1 时会得 19/20，与这条边界不符。

答案　误写得 0.90、比值 1.3333，偏高 5.3%；用 n=1 边界可拦下。

采分点　错法方差 1 分、错法比值 1 分、偏高 1 分、分母错因 1 分、边界校验 2 分。

易错点　只报 0.90 不检查 n=1 时因子是否该等于 1。

三、规律小结与对照表

小结：两模型期望相同，方差差 (N−n)/(N−1)；用 n=1 因子必为 1 作边界校验最省事。

四、自测清单

• 能写出两个模型的期望
• 能算二项方差
• 能写出有限总体校正因子
• 能算超几何方差与方差比
• 能用 n=1 边界拦错
• 能算误写后的偏高