题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
最小二乘斜率 k = (Σxy − n·x̄·ȳ)/Σ(x−x̄)²。异常点会把斜率整体抬高，判它该不该剔，不能凭「看着不顺眼」，要用剩余点的残差标准差 σ 与 3σ 比较：残差超过 3σ 才剔。
自编示意 6 组数据：(1, 2.10)、(2, 3.95)、(3, 6.20)、(4, 7.85)、(5, 10.05)、(6, 14.90)，末点为示意异常值。数据为自编示意，不代表真实测量。
二、逐题精讲
题1
题1 求全 6 点的最小二乘斜率、截距与末点残差。
解析
Σx = 21、x̄ = 3.5；Σy = 45.05、ȳ = 7.5083；Σxy = 199.65；Σ(x−x̄)² = 17.5。分子 = 199.65 − 6×3.5×7.5083 = 41.975，故 k = 41.975/17.5 = 2.3986。
截距 b = ȳ − k·x̄ = 7.5083 − 8.3951 = 负 0.8868。末点预测值 = 2.3986×6 − 0.8868 = 13.505，实测 14.90，残差 1.395。
答案 k=2.3986、b=负 0.8868；末点残差 1.395。
采分点 四个求和量 2 分、斜率 2 分、截距 1 分、残差 1 分。
易错点 把 Σxy 直接当分子，漏减 n·x̄·ȳ；或把末点预测值按前 5 点的线算。
题2
题2 剔除末点后重拟合，并用 3σ 判据验证剔除是否成立。
解析
剩余 5 点：x̄ = 3、ȳ = 30.15/5 = 6.03，Σxy = 110.25，Σ(x−x̄)² = 10，分子 = 110.25 − 5×3×6.03 = 19.80，故 k′ = 1.98、b′ = 6.03 − 1.98×3 = 0.09。
5 点残差依次为 0.03、−0.10、0.17、−0.16、0.06，σ = √(0.069/3) = 0.1517，3σ = 0.455。末点残差 1.395 > 0.455，剔除成立。全拟合斜率 2.3986 比 1.98 偏高 21.1%，可见一个异常点足以把结论带偏。
答案 k′=1.98、b′=0.09；σ=0.1517、3σ=0.455，1.395>0.455 剔除成立，原斜率偏高 21.1%。
采分点 5 点重拟合 2 分、残差与 σ 2 分、3σ 判据 1 分、偏高 1 分。
易错点 用全 6 点的残差算 σ，把判据放宽到剔不掉异常点。
三、规律小结与对照表
| 步骤 | 用到的量 | 本题值 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 全 6 点拟合 | Σxy=199.65 | k=2.3986 | 被抬高 |
| 末点残差 | 14.90−13.505 | 1.395 | 偏大 |
| 剔后 5 点拟合 | Σxy=110.25 | k′=1.98 | 作为正解 |
| 3σ 判据 | σ=0.1517 | 0.455 | 1.395>0.455 成立 |
小结：先全拟合、再算残差、后用剩余点的 3σ 判据；异常点能把斜率抬高两成，剔前必须留痕。
四、自测清单
- 能写出最小二乘斜率公式
- 能算全 6 点的 k 与 b
- 能算末点残差
- 能重拟合 5 点
- 能由残差求 σ 与 3σ
- 能算异常点造成的偏高
