题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
极化恒等式 a·b = (|a+b|² − |a−b|²)/4 把「点积」换成「两条对角线长度的平方差」，在几何题里常比直接拆坐标快。它和 |a±b|² = |a|² + |b|² ± 2a·b 是同一件事的两种写法，可互相回代。
取自编示意 |a| = 3、|b| = 5、a·b = 6；数值为示意取数。
二、逐题精讲
题1
题1 用极化恒等式求 a·b，并求夹角与双向投影。
解析
|a+b|² = 9 + 25 + 2×6 = 46，|a−b|² = 9 + 25 − 2×6 = 22，代回 (46 − 22)/4 = 6，与题给 a·b = 6 闭合。又 |a+b| = 6.782、|a−b| = 4.690。
cosθ = 6/(3×5) = 0.4，θ = 66.42°。b 在 a 方向的投影为 a·b/|a| = 6/3 = 2.0；a 在 b 方向的投影为 a·b/|b| = 6/5 = 1.2。两个投影分母不同，不能互换。
答案 a·b=(46−22)/4=6；cosθ=0.4、θ=66.42°；投影 2.0 与 1.2。
采分点 两平方值各 1 分、极化回代 1 分、夹角 2 分、双向投影 1 分、口径区分 1 分。
易错点 把投影统一写成 |b|cosθ，或把 |a−b|² 的 −2a·b 写成 +。
题2
题2 若把 |a−b|² 误记成 20，反求的 a·b 是多少、偏高多少？
解析
误记后代回 (46 − 20)/4 = 6.5，比题给 6 偏高 (6.5/6 − 1) = 8.3%。
错因是把「减 2a·b」的系数或 |a|²+|b|² 的 34 记错：正确应为 34 − 12 = 22，不是 20。用 |a+b|² + |a−b|² = 2(|a|²+|b|²) = 68 也能立刻拦下：46 + 20 = 66 ≠ 68。
答案 反求 6.5，偏高 8.3%；用 68 的平方和恒等式可拦下。
采分点 错法数值 1 分、偏高 1 分、正确差方 1 分、平方和恒等式 2 分、拦截说明 1 分。
易错点 只报 6.5 不回代平方和，漏掉最省事的拦截。
三、规律小结与对照表
| 量 | 表达式 | 本题值 | 用途 |
|---|---|---|---|
| |a+b|² | |a|²+|b|²+2a·b | 46 | 极化被减数 |
| |a−b|² | |a|²+|b|²−2a·b | 22 | 极化减数 |
| a·b | (46−22)/4 | 6 | 四路互验 |
| 平方和 | 2(|a|²+|b|²) | 68 | 误记拦截 |
小结：极化恒等式与平方和恒等式成对使用，一个求值一个拦错；双向投影分母不同，分开报。
四、自测清单
- 能写出极化恒等式
- 能算 |a+b|² 与 |a−b|²
- 能反求数量积并闭合
- 能求夹角与双向投影
- 能用平方和恒等式拦错
- 能算误记后的偏高
