题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
定积分求面积三步：先解交点定上下限，再判哪条曲线在上，最后用「上减下」作被积函数。若在区间内两条曲线换了高低，就必须分段，否则正负会互相抵消。
自编示意：曲线 y = x 与 y = x²，区间先取第一象限围成的封闭区域。函数为自拟示意，不代表真实测量。
二、逐题精讲
题1
题1 求 y=x 与 y=x² 围成区域的面积。
解析
解 x = x² 得交点 x=0 与 x=1。在 (0,1) 内 x > x²，故被积函数取 x−x²。原函数 F(x) = x²/2 − x³/3，面积 = F(1)−F(0) = (1/2−1/3)−0 = 0.166667，即 1/6 ≈ 0.1667。若把被积函数写反成 x²−x，会得 −1/6，负号提示上下曲线判反了，面积取绝对值即可，但必须写明原因。
答案 交点 x=0、1；面积 = 1/6 ≈ 0.166667。
采分点 解交点 1 分、判上下曲线 1 分、被积函数 1 分、原函数 1 分、面积 1 分、负号含义 1 分。
易错点 不判上下曲线直接积 x²−x，会得到负面积。
题2
题2 若把上限误取到 2，直接算 ∫₀²(x−x²)dx 会得多少？几何面积又该是多少？
解析
带符号积分 F(2)−F(0) = (2−8/3)−0 = -0.666667，即 −2/3，是负值。原因是 x>1 后 x² > x，上减下变成 x²−x，这一段积分贡献为负。几何面积要分段取绝对值：0→1 段 0.166667，1→2 段 |F(2)−F(1)| = 0.833333，合计 1.0000。所以「带符号积分 = −2/3」与「几何面积 = 1」并不矛盾，是两个不同量；把 −2/3 直接报成面积是错的，把两段绝对值相加才对。
答案 带符号积分 -0.666667；分段几何面积 1.0000（1/6 + 5/6）。
采分点 带符号值 1 分、变号点 1 分、两段绝对值各 1 分、合计 1 分、两个量辨析 1 分。
易错点 把带符号积分的负值取个绝对值就当面积，忽略 0→1 段与 1→2 段要分开加。
三、规律小结与对照表
| 区间 | 上减下 | 带符号积分 | 几何面积 |
|---|---|---|---|
| 0→1 | x−x² | 0.166667 | 0.166667 |
| 1→2 | x−x²（为负） | -0.833333 | 0.833333 |
| 0→2 合计 | — | -0.666667 | 1.0000 |
| 正确上限 | 0→1 | 0.166667 | 0.166667 |
| 两个量 | 带符号 vs 面积 | 可负 | 非负 |
小结：先解交点定区间、判上下曲线；跨过变号点必须分段取绝对值，带符号积分不等于面积。
四、自测清单
- 能解两曲线交点
- 能判断区间内哪条曲线在上
- 能写出被积函数与原函数
- 能计算围成面积
- 能识别带符号积分变负的原因
- 能分段求几何面积并区分两个量
