题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
「独立」和「互斥」最容易混：独立说的是一个发生不改变另一个的概率，判据是 P(AB) = P(A)P(B)；互斥说的是两个不能同时发生，判据是 P(AB) = 0。两者除了一方概率为零的退化情形，不能同时成立。
自编示意：P(A) = 0.40，P(B) = 0.50，P(AB) = 0.20。数值为自拟示意，不代表真实统计。
二、逐题精讲
题1
题1 求 P(A|B)、P(B|A)，判断 A、B 是否独立、是否互斥。
解析
P(A|B) = P(AB)/P(B) = 0.20/0.50 = 0.40，恰好等于 P(A)=0.40；P(B|A) = 0.20/0.40 = 0.50，也等于 P(B)=0.50。再看乘积判据：P(A)P(B) = 0.40×0.50 = 0.20 = P(AB)，故 A、B 独立。而 P(AB)=0.20 ≠ 0，故不互斥。独立与互斥在这里给出相反结论，正好说明它们不是一回事。
答案 P(A|B) = 0.40；P(B|A) = 0.50；独立，不互斥。
采分点 条件概率式 1 分、两条件概率各 1 分、乘积判据 1 分、独立结论 1 分、互斥辨析 1 分。
易错点 把「独立」顺手写成「互斥」：本题 P(AB) 不为零，两者不能同真。
题2
题2 若把 P(AB) 误记成 0.25，条件概率与独立性结论会怎么变？说明为什么单看 P(A|B) 变了还不够。
解析
误记后 P(A|B)′ = 0.25/0.50 = 0.50，与 P(A)=0.40 不再相等；P(A)P(B) = 0.20 ≠ 0.25，乘积判据也不成立，故判为不独立。单看「条件概率从 0.40 变 0.50」只能说数值变了，真正定结论的是两条判据同时失效：P(A|B) 是否等于 P(A)、以及 P(AB) 是否等于 P(A)P(B)。另外误记还要查一致性：P(AB) 不能超过 min(P(A),P(B)) = 0.40，0.25 虽在范围内，却与给定的另两个数不自洽；若误记成 0.45 就直接越界，可用作上界自检。
答案 P(A|B)′ = 0.50；乘积判据不成立，判为不独立；须两条判据一起查。
采分点 误记条件概率 1 分、乘积判据 1 分、结论翻转 1 分、双判据 1 分、上界自检 1 分。
易错点 只报「条件概率变了」就下结论，漏掉乘积等式这条独立判据。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 给定值 | 误记 0.25 |
|---|---|---|---|
| P(AB) | — | 0.20 | 0.25 |
| P(A)P(B) | 0.40×0.50 | 0.20 | 0.20 |
| P(A|B) | P(AB)/P(B) | 0.40 | 0.50 |
| 独立? | P(AB)=P(A)P(B) | 是 | 否 |
| 互斥? | P(AB)=0 | 否 | 否 |
小结：独立看乘积等式、互斥看交集为零；结论翻转要两条判据一起查，并顺手做交集上界自检。
四、自测清单
- 能用条件概率公式
- 能用 P(AB)=P(A)P(B) 判独立
- 能区分独立与互斥
- 能回代误记后的结论变化
- 能说明双判据的必要性
- 能用 min 上界做一致性自检
