联招数学·两边固定时面积的最大值：把 sin C 顶到 1 之前先查第三边 - 例题精讲

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例题精讲 · 第 00742 题 · 夹角变化会同时改第三边，别只盯面积公式

以自编示意三角形两边 a=4.00、b=6.00 为材料，求 C=60.0° 时的面积，并讨论面积取最大时第三边与外接圆半径的变化。

00742题号全 1000 篇 · 第第124轮 / 第124册轮

方向数学·导数与解三角形六向之一

题型自编仿真题逐题精讲 · 采分点拆解

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

例题精讲 · 数学导数与解三角形

一、考点定位与做题顺序

两边给定时，面积只差一个 sin C。由 S = ½ab sin C 与 sin C ≤ 1 立刻得上界 ½ab，等号在 C = 90° 取到。但要小心：C 一变，第三边 c 也跟着变，所以「面积最大」和「周长最小」不是同一件事。

自编示意：a = 4.00、b = 6.00，先取 C = 60.0°。数值为自拟示意，不代表真实测量。

二、逐题精讲

题1

题1　求 C=60.0° 时的 c、S 与此时相对最大面积的差距。

解析

余弦定理：c² = 16+36−2·24·cos60° = 52−24 = 28.0000，c = 5.2915。面积 S = ½·4·6·sin60° = 12×0.8660254 = 10.3923。两边固定时最大面积 Smax = ½ab = 12.00，在 C=90° 取到，故当前比最大值小 13.4%。用 ½ab sin C 与 ½ab·(c/2R)·… 等不同写法互验时，必须先统一 C，否则 c 与 R 都对不上。

答案　c = 5.2915；S = 10.3923；Smax = 12.00，当前小 13.4%。

采分点　余弦定理 1 分、c 值 1 分、面积式 1 分、S 值 1 分、上界与等号条件 1 分、差距 1 分。

易错点　把 cos60° 写成 0.866（那是 sin60°），c 会算错。

题2

题2　面积取最大时 C、c 各是多少？说明为什么此时周长反而更大。

解析

sin C = 1 时 C = 90.0°，c′² = 16+36−2·24·cos90° = 52，c′ = √52 = 7.2111，比 C=60° 的 5.2915 更长。周长从 4+6+5.2915 = 15.2915 增到 4+6+7.2111 = 17.2111。原因很直接：C 变大让对边 c 变长，面积靠 sin C 涨到顶，周长却靠 c 一起涨。所以「面积最大」和「周长最短」是两个不同目标，不能用一个结论套另一个；若要周长最小，应让 C → 0，此时面积也趋近 0。

答案　C = 90.0°，c′ = 7.2111；周长为 17.2111，比 C=60° 时更大。

采分点　等号条件 1 分、c′ 1 分、两周长各 1 分、联动解释 1 分、不同目标辨析 1 分。

易错点　把「面积最大」顺手写成「周长也最小」，忽略 c 随 C 单调增。