联招数学·线性规划的整数最优解：顶点最优不等于整点最优 - 例题精讲

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例题精讲 · 第 00736 题 · 先求连续最优，再在附近枚举整点

以自编示意约束 2x+3y≤12、x+y≤5、x,y≥0 与目标 z=x+2y 为材料，求整数最优解，并回代直接对连续最优点取整造成的不可行。

00736题号全 1000 篇 · 第第123轮 / 第123册轮

方向数学·导数与解三角形六向之一

题型自编仿真题逐题精讲 · 采分点拆解

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

例题精讲 · 数学导数与解三角形

一、考点定位与做题顺序

线性规划的连续最优通常落在顶点，但题目要求整数解时，顶点未必是整点。稳妥做法是：先求连续最优，再在它附近按约束枚举整点，逐个验可行性并比目标值。

自编示意：约束 2x + 3y ≤ 12、x + y ≤ 5、x ≥ 0、y ≥ 0，目标 z = x + 2y 取最大。系数与约束均为自拟示意。

二、逐题精讲

题1

题1　求整数最优解与最大 z，并列出可行域内整点个数。

解析

目标 z = x + 2y 的等值线斜率 −1/2，沿 y 增大方向 z 增大，所以先查 y 轴上的顶点。y = 4 时 2·0+3·4 = 12 ≤ 12、0+4 = 4 ≤ 5 成立，得 (0,4)、z = 8。再看两边界 2x+3y=12 与 x+y=5 的交点：由 x = 5−y 代入得 10−2y+3y = 12，y = 2、x = 3，给 z = 3+4 = 7；端点 (5,0) 给 5、(0,0) 给 0，都小于 8。按 0≤x≤6、0≤y≤4 逐点验两约束，可行整点共 18 个，枚举比对后最大仍是 (0,4)。结论：最优点由目标方向定，不是由「两直线交点」定。

答案　整数最优解 (0,4)，z = 8；可行整点共 18 个；(3,2) 给 z=7，非最优。

采分点　等值线方向 1 分、y 轴顶点 1 分、交点联立 1 分、各顶点比值 1 分、整点枚举 1 分、最优解 1 分。

易错点　算出两直线交点就当最优：目标方向不同，最优点可能落在另一顶点。

题2

题2　另取约束 2x+3y≤13、x+y≤4.5，说明为什么把连续最优顶点直接取整会不可行，并给出附近合法整点。

解析

两边界联立：x = 4.5−y 代入 2(4.5−y)+3y = 9+y = 13，得 y = 4、x = 0.5，是分数顶点，z = 0.5+8 = 8.5。直接四舍五入取整成 (1,4) 时，2·1+3·4 = 14 > 13，违反第一约束；1+4 = 5 > 4.5，也违反第二约束，故不可行。改取 (0,4)：2·0+3·4 = 12 ≤ 13、0+4 = 4 ≤ 4.5 成立，z = 8；再取 (1,3)：2+9 = 11 ≤ 13、4 ≤ 4.5，z = 7。枚举附近整点后最大为 8。可见分数顶点必须「就近枚举 + 逐点验可行性」，不能只做四舍五入。

答案　连续顶点 (0.5, 4) 取整 (1,4) 不可行；合法整点中最优为 (0,4)、z = 8。

采分点　分数顶点求解 1 分、取整违反两约束各 1 分、合法整点枚举 1 分、最优值 1 分、方法结论 1 分。

易错点　把「取整后取整点」当成通用做法，忽略取整可能同时踩破两条约束。