题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
复数乘法用三角形式最省事：模相乘、辐角相加。先把两个复数各自的模和辐角主值算出来，乘积的模与辐角就直接得到，再展开成代数形式核对。
自编示意：z₁ = 1 + √3 i，z₂ = √3 + i。数值为自拟示意，不代表真实测量。
二、逐题精讲
题1
题1 求 z₁、z₂ 的模与辐角主值，并求 z₁z₂ 与 z₁/z₂。
解析
|z₁| = √(1+3) = 2.0000，辐角 arctan(√3/1) = 60.0°；|z₂| = √(3+1) = 2.0000，辐角 arctan(1/√3) = 30.0°。乘积模 = 4.0000，辐角 = 90.0°，即 z₁z₂ = 4i；直接展开 (1+√3i)(√3+i) = √3+i+3i+√3i² = 4i，两路闭合。商 z₁/z₂ 模为 1、辐角 60−30 = 30°，即 cos30°+i sin30°。
答案 |z₁|=|z₂|=2.0000；辐角 60.0° 与 30.0°；z₁z₂ = 4i（辐角 90.0°）；z₁/z₂ 辐角 30°。
采分点 两模各 1 分、两辐角各 1 分、乘积模 1 分、乘积辐角 1 分、代数展开互验 1 分。
易错点 把 arctan(1/√3) 写成 60°，会把 z₂ 与 z₁ 的辐角对调。
题2
题2 若把 z₂ 的辐角误读成 60°，乘积辐角与实部会变成多少？说明模为什么不能用作报警量。
解析
误读后辐角 = 60+60 = 120.0°，乘积实部 = 4·cos120° = -2.0，而正确实部是 0，差 2.0000。模仍是 2·2 = 4，与角度无关，所以只核对模发现不了抄错角度。真正能报警的是实部或辐角本身：它们都随角度和变化。用 de Moivre 反复乘方时，角度误差还会被放大 n 倍。
答案 误读辐角 120.0°，实部 -2.0；模仍为 4，不能作报警量。
采分点 误读辐角 1 分、实部 1 分、实部差 1 分、模不变理由 1 分、乘方放大说明 1 分。
易错点 看到模一致就判定「两种读法等价」，是最常见的漏检。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 正确（30°） | 误读（60°） |
|---|---|---|---|
| |z₁| | √(1²+√3²) | 2.0000 | 2.0000 |
| 辐角和 | 60°+arg z₂ | 90.0° | 120.0° |
| |z₁z₂| | 模相乘 | 4.0000 | 4.0000 |
| 实部 | |z₁z₂|·cos(辐角和) | 0.0000 | -2.0 |
| 报警量 | 随角度变的是实部 | 实部可用 | 模不可用 |
小结：模相乘、辐角相加；角度抄错只会改变实部与辐角，模不变，故必须拿实部或辐角回代报警。
四、自测清单
- 能把复数化成三角形式
- 能求辐角主值
- 能用模相乘辐角相加求乘积
- 能用代数展开互验
- 能识别角度误读对实部的影响
- 能说明模不能作报警量
