联招数学·全概率与贝叶斯：先选箱再取球，别把顺序倒过来

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

两阶段试验最忌把「先选箱」这一步省掉。画树：第一层是选箱（各 0.5），第二层才是箱内取球，红球概率要把两条枝加起来。

自编示意：甲箱 3 红 2 白，乙箱 1 红 4 白，等可能选箱后取 1 球；箱内容与取法均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1　求 P(红)、P(甲|红) 与 P(乙|白)。

解析

P(红) = 0.5·(3/5) + 0.5·(1/5) = 0.3000 + 0.1000 = 0.4000。贝叶斯反推：P(甲|红) = P(甲且红)/P(红) = 0.3000/0.4000 = 0.7500。P(白) = 1 − 0.4000 = 0.6000；P(乙|白) = 0.5·(4/5)/0.6000 = 0.4000/0.6000 = 0.6667。三式分母都是「已看到的结果」总概率，不是某一箱的箱内比例。

答案　P(红)=0.4000；P(甲|红)=0.7500；P(乙|白)=0.6667。

采分点　全概率 1 分、P(红) 1 分、两个后验各 1 分、分母口径 1 分。

易错点　把 P(甲|红) 的分母写成 0.5，会得 0.6000，那其实是甲箱红球率。

题2

题2　放回后再取一次仍为红，求 P(甲|两红)；并说明把 P(甲|红) 直接写成 0.6000 会差多少。

解析

放回时两次独立：P(甲且两红) = 0.5·(3/5)² = 0.1800，P(两红) = 0.5·(9/25) + 0.5·(1/25) = 0.2000，故 P(甲|两红) = 0.1800/0.2000 = 0.9000。若把 P(甲|红) 误写成甲箱红球率 0.6000，相对正确 0.7500 偏小 (0.7500−0.6000)/0.7500 = 20.0%。差别在于前者以「看到红球」为条件、把两箱都算进分母，后者只描述甲箱内部，两者不是同一个量。

答案　P(甲|两红)=0.9000；误写 0.6000 相对偏小 20.0%。

采分点　两红联合概率 1 分、全概率 1 分、后验 1 分、偏差 1 分、两量辨析 1 分。

易错点　不放回时两次不独立，不能照搬 (3/5)²。

三、规律小结与对照表

小结：分母永远是「已看到的结果」，不是某一箱内部的比例；放回与否决定能不能平方。

四、自测清单

• 能画两阶段概率树
• 能用全概率公式求边缘概率
• 能用贝叶斯公式反推箱别
• 能处理放回抽样的两次独立
• 能辨析条件概率与箱内比例
• 能回代误写的相对偏差