联招数学·二分法区间套：精度由区间长度管，不由函数值管 - 例题精讲

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例题精讲 · 第 00700 题 · 每次取中点看符号，误差上界是半个区间长

以自编示意 f(x)=x³−x−1 在 [1,2] 上为材料，逐次二分回代函数值与区间长度，并求达到 0.01 精度所需的最少迭代次数。

00700题号全 1000 篇 · 第第117轮 / 第117册轮

方向数学·导数与解三角形六向之一

题型自编仿真题逐题精讲 · 采分点拆解

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

例题精讲 · 数学导数与解三角形

一、考点定位与做题顺序

二分法的每一步只做两件事：取中点、看符号。收敛快慢由区间长度决定，函数值离零多近并不直接给出误差界。

自编示意：f(x) = x³ − x − 1，取区间 [1, 2]，数值为按函数式现算的示意结果。

二、逐题精讲

题1

题1　写出前五次二分的中点函数值，并给出第五次后的区间长度与误差上界。

解析

f(1) = -1.0000，f(2) = 5.0000，异号，零点存在。中点 1.5：f = 0.8750 > 0，根落 [1, 1.5]。1.25：f = -0.2969 < 0，根落 [1.25, 1.5]。1.375：f = 0.2246 > 0。1.3125：f = -0.0515 < 0。1.34375：f = 0.0826 > 0。五次后区间长度 = 2/2⁵ = 0.0625；若取区间中点作近似根，误差上界是半区间长 0.03125，而不是 0.0625，也不是某一步的 |f|。

答案　f(1.5)=0.8750，f(1.25)=-0.2969，f(1.375)=0.2246，f(1.3125)=-0.0520，f(1.34375)=0.0830；区间长 0.0625，误差上界 0.03125。

采分点　异号判定 1 分、五个中点值各 0.5 分、区间长 1 分、误差上界 1 分、辨析 1 分。

易错点　把 |f(中点)| 当误差界：函数值单位是函数值，误差单位是自变量长度。

题2

题2　要使近似根误差不超过 0.01，最少需二分多少次？

解析

第 n 次后区间长 = 2/2ⁿ，取区间中点作近似根时误差上界 = 1/2ⁿ。两种精度口径必须分开：若要求「半区间长 ≤ 0.01」，则 1/2ⁿ ≤ 0.01 → 2ⁿ ≥ 100 → n = 7（1/128 = 0.0078125）；若要求「区间长 ≤ 0.01」，则 2/2ⁿ ≤ 0.01 → 2ⁿ ≥ 200 → n = 8（2/256 = 0.0078125），n = 7 时 2/128 = 0.015625 不合格。题面按较严的区间长口径，故取 n = 8。两个答案都必须写明口径，不能只报一个数字。

答案　按区间长口径 n = 8（区间长 0.0078125）；按半区间长口径 n = 7。

采分点　不等式 1 分、n=8 1 分、n=7 口径 1 分、口径声明 1 分。

易错点　不声明用的是「区间长」还是「半区间长」，7 与 8 会各说各话。