题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
等比数列求和公式的分母是 q−1，见到含参或可能取 1 的公比，第一步永远是分类，不是先代数字。
自编示意：a₁ = 2.00，q = 3.00；数值自拟，不代表真实数列记录。q⁸ = 6561，供后文回代核对。
二、逐题精讲
题1
题1 求 S₄、S₈ 与片段和 a₅+…+a₈，并用第二路公式互验。
解析
q⁴ = 81，q⁸ = 6561。S₄ = a₁(q⁴−1)/(q−1) = 2.00·(81−1)/2 = 80.0；S₈ = 2.00·(6561−1)/2 = 6560.0。片段和一路 = S₈ − S₄ = 6560.0 − 80.0 = 6480.0。另一路把 a₅ = a₁q⁴ = 2.00·81 = 162.0 当作新首项、仍取 4 项：a₅(q⁴−1)/(q−1) = 162.0·80/2 = 6480.0。两路相等，说明片段的「起点下标」和「项数」都没数错。若两路不等，优先查项数是否写成 5。
答案 S₄ = 80.0；S₈ = 6560.0；片段和 = 6480.0（两路一致）。
采分点 分类意识 1 分、S₄ 1 分、S₈ 1 分、两路片段和各 1 分、闭合说明 1 分。
易错点 把 a₅…a₈ 数成 5 项，会多算一项。
题2
题2 若 q = 1.00，其余不变，S₈ 应是多少？直接套 q−1 公式会得到什么，为什么不能那样写？
解析
q = 1 时每一项都等于 a₁，S₈ = 8·a₁ = 16.0。若仍套 a₁(q⁸−1)/(q−1)，分子 2.00·(1−1) = 0、分母 1−1 = 0，得到 0/0，是不定式而非 16.0；不能把它「约成 0」或「约成 1」。正确写法是先分 q=1 与 q≠1 两档，q=1 档单独用 Sₙ = na₁。这也说明求和公式的适用条件必须写在答案里，不能只给一个数值。
答案 S₈ = 16.0；套公式得 0/0，不成立。
采分点 q=1 判定 1 分、Sₙ=na₁ 1 分、0/0 辨析 1 分、适用条件说明 1 分。
易错点 把 0/0 用计算器「算成 0」是把不定式当定值。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | q=3.00 | q=1.00 |
|---|---|---|---|
| q⁴ | 3⁴ | 81 | 1 |
| S₄ | a₁(q⁴−1)/(q−1) | 80.0 | 8.0 |
| S₈ | a₁(q⁸−1)/(q−1) | 6560.0 | 16.0（改 na₁） |
| a₅…a₈ | S₈−S₄ | 6480.0 | 8.0 |
| 第二路 | a₁q⁴(q⁴−1)/(q−1) | 6480.0 | 不适用 |
小结：含 q−1 的公式先分类；片段和两路互验能把「项数」和「起点」两个错一起挡住。
四、自测清单
- 能对 q=1 单独分类
- 能用总和相减求片段和
- 能用新首项公式互验
- 能识别 0/0 是不定式
- 能写出公式适用条件
- 能核对项数
