题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
单摆周期公式 T=2π√(l/g) 里的 l 是悬点到球心的距离，不是光量摆线的长度。如果每次都只记摆线长 L、漏掉小球半径 r，真摆长是 L+r，于是 T² = (4π²/g)(L+r) = kL + b，截距 b = k·r 不为零。把这条直线强行拉过原点，斜率就会被截距带偏。
自编示意：取 L = 0.400、0.600、0.800、1.000 m 四点，小球半径 r = 0.020 m，取 g = 9.80 m/s²。读数与器件均为自编示意，不代表真实测量记录。
二、逐题精讲
题1
题1 求理论斜率 k 与截距 b，写出 L=0.400 m 与 L=1.000 m 两点的 T²。
解析
理论斜率 k = 4π²/g = 4π²/9.80 = 4.0284 s²/m，截距 b = k·r = 4.0284×0.020 = 0.0806 s²。
两点：T²(0.400) = k(0.400+0.020) = 1.6919 s²；T²(1.000) = k(1.000+0.020) = 4.1090 s²。
回代核验：由 1.000 m 点反算 g = 4π²·(1.020)/T² = 9.80 m/s²，与题给 9.80 闭合；ΣL = 2.8 m、ΣL² = 2.16 m²，后面算过原点斜率要用到这两个量。
答案 k=4.0284 s²/m；b=0.0806 s²；两点 T² 为 1.6919 与 4.1090 s²
采分点 斜率 2 分；截距来源 2 分；两点 T² 各 1 分；g 反算回代 2 分；ΣL/ΣL² 口径 1 分
易错点 把摆线长当摆长；强行令 b=0
题2
题2 若把四点强行按过原点直线拟合，斜率与算出的 g 会变多少？正确做法是什么？
解析
过原点拟合的斜率 k′ = Σ(L·T²)/ΣL² = k + b·ΣL/ΣL² = 4.0284 + 0.0806×2.8/2.16 = 4.1329 s²/m，反算 g′ = 4π²/k′ = 9.552 m/s²，比 9.80 偏小 2.5%。
正确做法两条：一是把摆长直接补成 L+r，再按过原点拟合，斜率仍是 4.0284；二是保留截距，用 T² = kL + b 的斜率 k 求 g，截距 b 正好把漏掉的 r 记下来。两条路都别把 b 抹掉。
回代核验：4.1329 − 4.0284 = 0.1044 = 0.0806×2.8/2.16；9.552×1.0259 与 9.80 的比值一致；四点 T² 都满足 T² = k(L+0.020)，逐点闭合。
答案 过原点给 k′=4.1329、g′=9.552 m/s²（偏小 2.5%）；应补摆长或保留截距
采分点 过原点斜率 2 分；误算 g 2 分；两条正确做法 2 分；斜率差回代 2 分；不抹平截距 1 分
易错点 把截距当随机误差删掉；用摆线长直接算 g
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 本题值 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 理论斜率 k | 4π²/g | 4.0284 | 自编示意 |
| 截距 b | k·r | 0.0806 s² | 漏加半径 |
| 0.400 m 处 T² | k(L+r) | 1.6919 s² | 闭合 |
| 过原点斜率 k′ | Σ(LT²)/ΣL² | 4.1329 | 被截距带偏 |
| 误算 g′ | 4π²/k′ | 9.552 m/s² | 偏小 2.5% |
小结：摆长是悬点到球心，漏加 r 会让 T²–L 图多出截距 b=k·r；强行过原点会把 g 算小。本例 k=4.0284、b=0.0806、g′=9.552 m/s²。读数均为自编示意。
四、自测清单
- 知道摆长须含小球半径
- 能由 T²=kL+b 求斜率与截距
- 能算两点 T² 并反算 g
- 能算过原点拟合带来的斜率偏差
- 知道保留截距或补摆长两条正解
- 能用逐点闭合与斜率差回代
