题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
含参单调性的讨论顺序只有两步：先把导数写成能看出参数作用的形式，再按参数把「有没有临界点、临界点在哪」分开。f(x)=x³−3ax+1 的导数是 f′(x)=3x²−3a=3(x²−a)，参数 a 的正负直接决定 x²=a 有没有实根。
自编示意函数与参数均为自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 按 a 讨论 f(x) 的单调区间。
解析
f′(x) = 3(x²−a)。当 a ≤ 0 时，x²−a > 0 对一切 x 成立（a=0 时除 x=0 外均为正，函数仍在 R 上单调递增），f 在 R 上递增，无极值点。
当 a > 0 时，临界点 x = ±√a。f′>0 在 (−∞,−√a) 与 (√a,+∞)，f′<0 在 (−√a,√a)；故增—减—增三段，x=−√a 取极大、x=√a 取极小。
回代核验：a=4 时 √a=2，f′(0) = 3(0−4) = −12 < 0，落在减区间；f′(3) = 3(9−4) = 15 > 0，落在增区间，与三段划分一致。
答案 a≤0 全增；a>0 增(−∞,−√a)、减(−√a,√a)、增(√a,+∞)
采分点 导数形式 1 分；a≤0 讨论 2 分；a>0 三段 2 分；a=0 特例 1 分；两点导数回代 2 分
易错点 漏掉 a=0 单独说；把 −√a 当极小点
题2
题2 a=4 时求两个极值；若要求 f 在 [0,3] 上单调不增，a 至少要多大？
解析
a=4：√a=2，f(−2) = −8 + 24 + 1 = 17.0（极大），f(2) = 8 − 24 + 1 = -15.0（极小），两极值差 32.0。
要让 [0,3] 落进减区间 (−√a,√a)，须 3 ≤ √a，即 a ≥ 9。取 a=9 时 √a=3，f′(3) = 3(9−9) = 0.0，端点处导数为 0，[0,3] 上单调不增成立；f(3) = 27 − 81 + 1 = -53.0。
回代核验：f′(0) = 3(0−9) = -27.0 < 0，区间内部确为减；a=4 时 √a=2 < 3，[0,3] 后半段已经进入增区间，不满足要求。参数边界取等号时端点导数为 0，不写成「严格小于」。
答案 a=4 极大 17.0、极小 -15.0；[0,3] 单调不增须 a≥9，此时 f′(3)=0.0
采分点 两极值各 2 分；区间包含条件 2 分；a≥9 解算 1 分；端点导数与 f(3) 回代 2 分
易错点 把 3≤√a 写成 3≤a；把端点导数 0 当成不成立
三、规律小结与对照表
| 参数范围 | 临界点 | 单调区间 | 本题验算 |
|---|---|---|---|
| a≤0 | 无 | R 上递增 | a=0 时仅一点导数为 0 |
| a>0 | ±√a | 增—减—增 | a=4 给 ±2 |
| a≥9 | ±√a 包住 [0,3] | [0,3] 不增 | f′(3)=0.0 |
| a=4 极值 | −2 / 2 | 17.0 / -15.0 | 差 32.0 |
小结：先把导数写成 3(x²−a)，再按 a 的正负分两段。a=4 给极大 17.0、极小 -15.0；[0,3] 不增须 a≥9。参数均为自编示意。
四、自测清单
- 能把导数写成含参可判号的形式
- 会分 a≤0 与 a>0 两类讨论
- 能写出三段单调区间
- 能求指定参数下的极值
- 能把区间要求转成 √a 的不等式
- 能用端点导数与函数值回代
