联招数学·辅助角公式：3sin x + 4cos x 的最大值就是 5

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

两个同角不同名的三角函数相加，可以合成一个：a sin x + b cos x = √(a²+b²)·sin(x+φ)，其中 φ 由 cos φ = a/√(a²+b²)、sin φ = b/√(a²+b²) 定，也就是 tan φ = b/a。把 a、b 当直角三角形的两条直角边，振幅就是斜边。

自编示意函数 f(x)=3 sin x + 4 cos x，另考察 g(x)=f(x)+1。参数均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1　求 f(x) 的振幅、相位角、最大值点与最大值。

解析

振幅 R = √(3²+4²) = √25 = 5.0。相位角 φ = atan2(4,3) = 0.927295 rad = 53.130°，即 cos φ = 3/5、sin φ = 4/5。

故 f(x) = 5.0 sin(x+φ)。最大值在 x+φ = π/2 处取得，x₀ = π/2 − φ = 0.643501，最大值 f(x₀) = 5.000000 = 5.0。

回代核验：把 x₀ 代回原式，3·sin x₀ + 4·cos x₀ = 5.000000，与合成式一致；sin²φ+cos²φ = (4/5)²+(3/5)² = 1.00 = 1 闭合。

答案　R=5.0，φ=0.927295 rad（53.130°），x₀=0.643501，最大值 5.0

采分点　振幅 2 分；相位角正余弦定法 2 分；最大值点 2 分；最大值 1 分；原式回代 2 分

易错点　把 tan φ 写成 a/b；把振幅写成 a+b

题2

题2　g(x)=f(x)+1 的最大值是多少？若解 f(x)=−1，x 落在哪里？

解析

g(x) 的最大值 = R + 1 = 6.0，取到位置仍是 x₀ = 0.643501：整体上下平移不改变相位，只抬最高点。

解 f(x)=−1 即 5.0 sin(x+φ) = −1，sin(x+φ) = -0.2 = −1/5。一个解为 x = arcsin(−0.2) − φ = -1.128653（另一解由 π − arcsin(−0.2) − φ 给出，按题面只报第一象限外的这一个）。

回代核验：5.0·sin(x₁+φ) = -1.0 = −1，与原方程闭合；g 在 x₀ 处取 6.0，在 x₁ 处取 0.0 = 0。

答案　g 最大值 6.0；f(x)=−1 的一解 x₁=-1.128653，对应 sin(x+φ)=-0.2

采分点　平移不改相位 2 分；最大值 1 分；方程化简 2 分；解的表达 2 分；两处回代 1 分

易错点　以为加 1 会改最大值点；把 sin(x+φ)=−1/5 写成 −5

三、规律小结与对照表

小结：a、b 当直角边，振幅是斜边；整体平移只抬最高点不改相位。本例 R=5.0、φ=53.130°、x₀=0.643501，回代 f(x₀)=5.0 闭合。参数均为自编示意。

四、自测清单

• 能用 √(a²+b²) 求振幅
• 能用 atan2 与正余弦定相位角
• 能求最大值点与最大值
• 知道整体平移不改相位
• 能解合成后的简单方程
• 能用原式与合成式两路回代