题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
从顶点 A 出发到边 a 有两条常用线：中线落到中点，角平分线把 A 平分。两者都连到边 a，但长度公式完全不同——中线用阿波罗尼斯定理 m_a²=(2b²+2c²−a²)/4，角平分线用 l_a=2bc·cos(A/2)/(b+c)。
自编示意三角形：b=5.0、c=7.0、夹角 A=60°，先由余弦定理求 a，再分别求两条线。参数均为自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 求 a、面积 S、中线 m_a 与外接圆半径 R。
已知 b=5.00、c=7.00、A=60°。
解析
a² = b² + c² − 2bc·cos A = 25 + 49 − 2·5·7·0.5 = 39.0，故 a = √39 = 6.2450。
面积 S = ½bc·sin A = ½·35·(√3/2) = 15.1554。中线 m_a² = (2b²+2c²−a²)/4 = (50+98−39)/4 = 27.25，故 m_a = 5.2202。外接圆半径 R = a/(2 sin A) = 6.2450/(2·0.866025) = 3.6056。
回代核验：正弦定理 a/sin A = 7.2111 = 2R = 7.2111；5.2202² = 27.25 与阿波罗尼斯式闭合。中线公式里用的是 a² 而非 a，别把 6.2450 直接代进去。
答案 a=√39=6.2450；S=15.1554；m_a=5.2202；R=3.6056
采分点 余弦定理 2 分；面积 1 分；中线公式 2 分；外接圆半径 2 分；正弦定理回代 1 分；a²/a 辨析 1 分
易错点 把中线公式里的 a² 写成 a；以为 R 要用角平分线
题2
题2 求角平分线 l_a，并说明把它当中线会差多少。
解析
cos(A/2) = cos30° = √3/2，l_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c) = 2·5·7·0.866025/12 = 5.0518。
中线 5.2202 与角平分线 5.0518 相差 0.1683，相对差 3.20%。两条线只在 b=c（等腰）时才重合：那时 m_a = l_a = (b²+c²−a²)^0.5 相关式退化为同一条高。本题 b≠c，不能互换。
回代核验：斯图尔特形式 l_a² = bc[1−(a/(b+c))²] = 48·(1−(6.2450/12)²) 与 5.0518² 同值；m_a² − l_a² = 1.7292 > 0，说明中线恒不短于角平分线（本题口径下）。
答案 l_a=5.0518；比中线短 0.1683（3.20%）；仅 b=c 时两线重合
采分点 角平分线公式 2 分；两线差与相对差 2 分；等腰特例 2 分；斯图尔特回代 2 分；不互换辨析 1 分
易错点 把 2bc·cos(A/2) 写成 2bc·sin(A/2)；用中线长代角平分线
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 本题值 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 第三边 a | √(b²+c²−2bc·cosA) | 6.2450 | 自编示意 |
| 中线 m_a | ½√(2b²+2c²−a²) | 5.2202 | 落到中点 |
| 角平分线 l_a | 2bc·cos(A/2)/(b+c) | 5.0518 | 平分 A |
| 外接圆半径 R | a/(2 sinA) | 3.6056 | 正弦定理 |
小结：中线用阿波罗尼斯，角平分线用 2bc·cos(A/2)/(b+c)。本例 a=6.2450、m_a=5.2202、l_a=5.0518，差 3.20%；b=c 时才重合。参数均为自编示意。
四、自测清单
- 能用余弦定理求第三边
- 能用阿波罗尼斯定理求中线
- 能用角平分线长度公式
- 能用正弦定理求外接圆半径
- 知道两线仅在等腰时重合
- 能回代两线长度差与 a²/a 口径
