联招数学·向量夹角钝角：点积小于 0 还要排除反向共线

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

两向量夹角为钝角，常见写法是 a·b < 0。但这只是必要条件：a·b < 0 对应 cosθ < 0，θ 落在 (90°, 180°]，其中 θ = 180° 是两向量反向共线，按定义不算钝角。所以还要排除反向共线。

自编示意：a = (1, 2)，b = (x, −1)。参数仅用于展示充要条件的推导流程。

二、逐题精讲

题1

题1　求 a·b、|a|，写出夹角为钝角时 x 的取值范围，并说明为什么要排除一个点。

解析

a·b = 1·x + 2·(−1) = x − 2。|a| = √(1²+2²) = 2.236068，|b| = √(x²+1)。

cosθ = (x−2)/(√5·√(x²+1))。钝角要求 θ ∈ (90°, 180°)，即 cosθ < 0 → x − 2 < 0 → x < 2。

再排除反向共线：共线条件 1×(−1) − 2×x = 0，得 x = -0.5。此时 a·b = -2.5 < 0 但两向量方向相反、夹角 180°，不是钝角。故充要条件是 x < 2 且 x ≠ -0.5。

答案　a·b=x−2，|a|=2.236068；钝角条件 x<2 且 x≠-0.5

采分点　点积 2 分；模 1 分；cosθ 条件 2 分；共线排除 2 分；充要表述 1 分

易错点　只写 a·b<0 不排除共线；把 180° 当钝角

题2

题2　取 x=0.0，求 cosθ 与夹角 θ；验证该点满足钝角条件。

解析

x = 0.0 时 a·b = -2.0，|b| = √(0²+1) = 1.0，cosθ = -2.0/(2.236068×1.0) = -0.894427，θ = arccos(-0.894427) ≈ 153.435°，落在 (90°, 180°) 内，是钝角。

再验 x = -0.5：a·b = -2.5，|b| = √(-0.5²+1) = 1.118034，cosθ = -2.5/(2.236068×1.118034) = -1.000000，即 θ = 180°，正是要排除的点。

回代核验：x=0.0 既满足 x<2 又满足 x≠-0.5；cosθ = -0.894427 < 0 且不等于 −1，两条件同时成立。

答案　x=0.0 时 cosθ=-0.894427、θ≈153.435°；满足 x<2 且 x≠-0.5

采分点　cosθ 2 分；角度 2 分；排除点复算 2 分；两条件回代 2 分

易错点　把 cosθ=−1 也收进钝角；用 |b|=|x|+1 代替 √(x²+1)

三、规律小结与对照表

小结：钝角 = a·b<0 且排除反向共线（θ=180°）。本例 x<2 且 x≠-0.5；x=0.0 时 θ≈153.435°。参数均为自编示意。

四、自测清单

• 能写出两向量点积与模
• 知道 a·b<0 只是钝角必要条件
• 会由共线条件找到要排除的点
• 知道 180° 反向共线不算钝角
• 能算指定 x 的 cosθ 与角度
• 能回代充要条件两半