联招数学·等差数列前 n 项和最值：找最后一个非负项

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

等差数列前 n 项和 S_n 是 n 的二次函数，但用「变号项」判最值更直接：a_n > 0 时每加一项 S_n 还在涨，a_n < 0 时开始跌。所以 S_n 最大落在最后一个非负项处，不必先把二次函数配方。

自编示意：a₁ = 20，d = -3。数据为自编示意，仅用于展示判定流程。

二、逐题精讲

题1

题1　求变号项位置、S₇ 与 S₈，并判断 S_n 何时最大。

解析

a_n = a₁ + (n−1)d = 20 − 3(n−1)。a₇ = 20 − 18 = 2 > 0，a₈ = 20 − 21 = -1 < 0，故前 7 项都在给 S_n 加正数，第 8 项开始减，S₇ 最大。

S₇ = 7/2 · (2a₁ + 6d) = 3.5 × (40 − 18) = 77.0；S₈ = 8/2 · (2a₁ + 7d) = 4 × (40 − 21) = 76.0。

回代核验：S₈ − S₇ = -1.0 = a₈ = -1，即 S₈ = S₇ + a₈ = 77.0 + (-1) = 76.0 闭合。再验 a_n = 0 得 n = 1 + 20/3 = 7.666667，不是整数，所以没有「加一项刚好不变」的项，最值点唯一落在 n=7。

答案　a₇=2>0、a₈=-1<0；S₇=77.0 最大，S₈=76.0；S₈−S₇=-1.0=a₈

采分点　通项 2 分；变号项判定 2 分；S₇/S₈ 各 1 分；S₈=S₇+a₈ 回代 2 分；n 非整数 1 分

易错点　把 a₈ 当正项继续累加；用 S_n=0 判最值

题2

题2　求 S₁₅，并说明为什么 S_n 会由正转负；若 d 改成 −2，变号项会怎么移？

解析

S₁₅ = 15/2 · (2×20 + 14×-3) = 7.5 × (40 − 42) = -15.0。前 7 项之和还在涨，之后负项逐项累积，到第 15 项累计已为负。

由 S₁₅ = -15.0 可反验：S₇ = 77.0，第 8 到 15 项共 8 项之和 = -92.0，与 a₈…a₁₅ 等差数列求和一致（首项 -1、末项 -22、8 项）。

若 d 改成 −2：a_n = 20 − 2(n−1)，a₁₀ = 2 > 0、a₁₁ = 0、a₁₂ = −2，变号点后移到 n=11 附近，且出现「a₁₁=0」使 S₁₀ = S₁₁ 两个相邻并列最大。回代核验：本例 7.666667 非整数对应唯一最值，d=−2 时 11 为整数对应并列最值，两种情形口径不同，正文已注明。

答案　S₁₅=-15.0；d=−2 时变号后移且出现 a₁₁=0，S₁₀=S₁₁ 并列最大

采分点　S₁₅ 2 分；后八项和反验 2 分；d 改变号点 2 分；整数项致并列最值 1 分；回代 1 分

易错点　说成 S_n 一直为正；忽略 a_n=0 时的并列最值

三、规律小结与对照表

小结：S_n 最值看 a_n 何时由正转负，最后非负项处最大；a_n=0 恰落在整数项时会出现相邻两和并列。本例 S₇=77.0、S₈=76.0，差 1.0 正是 a₈。数据为自编示意。

四、自测清单

• 能写出等差数列通项并找变号项
• 知道 S_n 最大落在最后非负项
• 会用求和公式算 S₇ 与 S₈
• 能用 S₈=S₇+a₈ 回代
• 能判断 a_n=0 是否为整数项
• 能说明 a_n=0 落在整数时并列最值