题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
三个不同底的对数硬换底能比，但更省事的是找中间量。1.5 是个好切点：把每个数写成「底数^1.5 与真数比大小」，利用对数函数单调性就能判它在 1.5 的哪一侧。
自编示意三数：a = log₂3，b = log₃5，c = log₅8。数值仅用于展示比较流程，不代表任何真实统计数据。
二、逐题精讲
题1
题1 用中间量 1.5 判断 a、b、c 分别在 1.5 的哪一侧。
解析
a = log₂3 与 1.5 比：因底 2>1，log₂ 单调增，比较 3 与 2^1.5。2^1.5 = 2.828427 < 3，故 a > 1.5。精确值 a = 1.584963。
b = log₃5 与 1.5 比：3^1.5 = 5.196152 > 5，故 b < 1.5。精确值 b = 1.464974。c = log₅8 与 1.5 比：5^1.5 = 11.180340 > 8，故 c < 1.5。精确值 c = 1.292030。
于是 a > 1.5 > b 且 a > 1.5 > c，a 最大已定。回代核验：2^1.584963 ≈ 3、3^1.464974 ≈ 5、5^1.292030 ≈ 8，三处换底闭合。
答案 a=1.584963>1.5；b=1.464974<1.5；c=1.292030<1.5；a 最大
采分点 单调性前提 2 分；三处幂值 2 分；三侧判定 2 分；换底回代 2 分
易错点 底数小于 1 时仍用单调增；拿 1 当中间量切不开 b 与 c
题2
题2 比较 b 与 c 的大小，给出 a>b>c 的完整链条；若换用换底公式，结果是否一致？
解析
b = ln5/ln3 = 1.464974，c = ln8/ln5 = 1.292030，故 b > c。合并题1 得 a = 1.584963 > b = 1.464974 > c = 1.292030。
换底复核：a = ln3/ln2 = 1.584963，与 1.584963 一致；b = 1.464974，c = 1.292030，三条通分到自然对数后排序不变。中间量法与换底法结论一致，前者不依赖计算器。
注意 1.5 只切开了 a 与其余两数，没切开 b 与 c；若只做完题1 就写「a 最大、b=c」，是漏了第二层比较。回代核验：b − c = 0.172944 > 0，链条闭合。
答案 a>b>c，即 1.584963 > 1.464974 > 1.292030；换底法结论一致
采分点 b/c 比较 2 分；完整链条 2 分；换底复核 2 分；两层比较辨析 1 分；差值回代 1 分
易错点 用 1.5 同时切开 b 与 c；把 b 与 c 判成相等
三、规律小结与对照表
| 数 | 精确值 | 与 1.5 比 | 判据 |
|---|---|---|---|
| a=log₂3 | 1.584963 | > | 2^1.5=2.8284<3 |
| b=log₃5 | 1.464974 | < | 3^1.5=5.1962>5 |
| c=log₅8 | 1.292030 | < | 5^1.5=11.1803>8 |
| b−c | 0.172944 | >0 | 换底复核 |
小结：不同底对数先找中间量切开一层，再补第二层比较；换底公式可作独立复核。本例 a=1.584963>b=1.464974>c=1.292030。数值为自编示意。
四、自测清单
- 知道底数大于 1 时对数函数单调增
- 会用底数^中间量与真数比大小
- 能算 2^1.5、3^1.5、5^1.5
- 知道中间量常只能切开一层
- 能用换底公式独立复核
- 能给出完整排序链条
