题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
分段函数求零点，最容易漏的一步是「解出来的根要回到它那一段的定义域里筛」。二次方程在 x>0 段解出的两个根，若有一个落在 x≤0，就不能算进这一段；两段分别数完再相加。
自编示意：f(x) = x + 2（x ≤ 0）；f(x) = x² − 2x + a（x > 0）。参数仅用于展示分档流程。
二、逐题精讲
题1
题1 按 a 分档讨论零点个数，并给出各档的临界判别式。
解析
第一段 x ≤ 0：x + 2 = 0 得 x = −2，落在区间内，恒贡献 1 个零点。
第二段 x > 0：x² − 2x + a = 0，判别式 Δ = 4 − 4a，根为 x = 1 ± √(1−a)（需 a ≤ 1 才有实根）。
分档：a > 1 时 Δ < 0（如 a=2.0 给 Δ=-4.0），第二段 0 根，总数 1 个；a = 1 时 Δ = 0.0，重根 x = 1.0 > 0，第二段 1 根，总数 2 个；0 < a < 1 时两根 1±√(1−a) 都为正（如 a=0.75 给 1.5000 与 0.5000），第二段 2 根，总数 3 个；a ≤ 0 时 √(1−a) ≥ 1，根 1−√(1−a) ≤ 0 被 x>0 筛掉，只剩 1+√(1−a)（如 a=-3.0 给 3.0000），总数 2 个。
答案 a>1：1 个；a=1：2 个；0<a<1：3 个；a≤0：2 个；Δ=4−4a
采分点 第一段恒根 2 分；判别式 2 分；四档归纳 3 分；区间筛根 2 分
易错点 把 x≤0 的根算进第二段；a>1 时仍写两个根
题2
题2 取 a=0.75 与 a=2.0，分别写出全部零点并回代函数值。
解析
a = 0.75：第一段零点 −2；第二段 Δ = 1.00，两根 0.5000 与 1.5000，均 > 0。全部零点 −2、0.5000、1.5000 共 3 个。回代：0.5000² − 2×0.5000 + 0.75 = 0.0000，1.5000² − 2×1.5000 + 0.75 = 0.0000，均为 0。
a = 2.0：Δ = -4.0 < 0，第二段无实根，只有第一段零点 −2，共 1 个。回代：−2 + 2 = 0 成立；若强行把 x=1 代入第二段得 1 − 2 + 2.0 = 1.0 ≠ 0，也说明该档没有第二段零点。
回代核验：a=0.75 三个零点逐个代入各自分段均为 0；a=2.0 只一个零点，两段定义域没有交叉计数。
答案 a=0.75 时零点 −2、0.5000、1.5000 共 3 个；a=2.0 时只有 −2 共 1 个
采分点 两档零点 2 分；逐根回代 2 分；负判别式 2 分；分段不交叉 1 分；口径 1 分
易错点 把 a=2 时的 x=1 写成零点；漏掉区间筛根
三、规律小结与对照表
| a 档 | Δ=4−4a | x>0 段根数 | 总零点 |
|---|---|---|---|
| a>1 | <0 | 0 | 1 |
| a=1 | =0 | 1（重根） | 2 |
| 0<a<1 | >0 | 2 | 3 |
| a≤0 | >0 | 1（另一根被筛） | 2 |
小结：分段求零点要「各段解方程 + 回定义域筛根 + 分段相加」。本例 a=0.75 给 3 个零点，a=2.0 只剩 1 个。参数均为自编示意。
四、自测清单
- 能分段列出方程并各自求解
- 知道第一段恒有一个零点
- 会由 Δ=4−4a 分档
- 能把落在区间外的根筛掉
- 能逐根回代函数值为 0
- 能给出各档零点总数
