联招数学·三角图像变换：先平移后伸缩，相位差一半

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

变换顺序不是可交换的。把 y=sin x 先向左平移 π/6，得 sin(x+π/6)；再把横坐标压缩到原来的 1/2（x 换成 2x），得 sin(2x+π/6)。反过来先压缩得 sin 2x，再向左平移 π/6，是把 x 换成 x+π/6，得 sin(2x+π/3)。同样的「平移 π/6」，落到式子里差了整整一倍。

更稳的写法是把 ω 提出来：sin(2x+π/6)=sin 2(x+π/12)，实际平移量是 π/12；sin(2x+π/3)=sin 2(x+π/6)，实际平移量是 π/6。周期都由 ω=2 决定，T=2π/2=3.141593。

二、逐题精讲

题1

题1　分别写出两条路线的解析式，并求它们的相位差与周期。

路线 A：y=sin x 左移 π/6，再横坐标压缩到 1/2。路线 B：y=sin x 先横坐标压缩到 1/2，再左移 π/6。

解析

路线 A：左移 π/6 得 sin(x+π/6)；压缩把 x 换成 2x，得 sin(2x+π/6)，相位 φ_A=0.523599。路线 B：压缩得 sin 2x；再左移 π/6 是把 x 换成 x+π/6，得 sin(2x+2·π/6)=sin(2x+π/3)，相位 φ_B=1.047198。

相位差 φ_B − φ_A = 1.047198 − 0.523599 = 0.523599 = π/6。周期 T = 2π/ω = 2π/2 = 3.141593，两条路线 ω 都是 2，周期相同、只差相位。

提系数复核：A 的实际平移量 φ_A/ω = (π/6)/2 = 0.261799，B 为 φ_B/ω = (π/3)/2 = 0.523599。后者正是前者的 2 倍，与「先压缩再平移会把平移量按 ω 缩放」一致。

答案　A：sin(2x+π/6)；B：sin(2x+π/3)；相位差 0.523599；周期 3.141593

采分点　两式各 2 分；相位差 2 分；周期 1 分；提系数复核 2 分；顺序辨析 1 分

易错点　把「左移 π/6」直接加到 2x 后面不乘 ω；以为两条路线周期不同

题2

题2　在 x=π/6 处分别求 A、B 的函数值；若把 B 误写成 sin(2x+π/6)，会漏掉什么？

解析

A：sin(2·π/6 + π/6) = sin(π/2) = 1.000000。B：sin(2·π/6 + π/3) = sin(2π/3) = 0.866025。

把 B 误写成 A 的式子，x=π/6 处会由 0.866025 错成 1.000000，最大值点也跟着移位：A 的最大值点满足 2x+π/6=π/2 即 x=π/6，B 满足 2x+π/3=π/2 即 x=0.261799。两式同周期不同相位，图像是左右错开而非上下错开。

回代核验：A 在 x=π/6 取 1（最大值），B 在 x=π/12 取 1；两点相差 π/12，正是两路线实际平移量之差 0.523599 − 0.261799 = 0.261799。

答案　A 在 x=π/6 为 1.000000；B 为 0.866025；误写会把最大值点从 π/12 挪到 π/6

采分点　两值各 2 分；最大值点解算 2 分；平移量差回代 2 分；图像错位辨析 1 分

易错点　把 sin(2π/3) 记成 0.5 以外的错值；以为相位差会改变周期

三、规律小结与对照表

小结：压缩与平移不可交换，把 ω 提出来写成 sin ω(x+φ/ω) 最稳。本例两式周期同为 3.141593，相位差 0.523599，实际平移量差 0.261799。参数均为自编示意。

四、自测清单

• 能分别写出两条变换路线的解析式
• 知道先压缩后平移要乘 ω
• 会用提系数法求实际平移量
• 知道周期只由 ω 决定
• 能求指定点函数值与最大值点
• 能回代相位差与平移量差