题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
三次函数 f(x)=x³−3x+a 的导数是 f′(x)=3x²−3 = 3(x−1)(x+1)，所以 x=−1 是极大点、x=1 是极小点。图像要穿过 x 轴三次，必须「极大在轴上、极小在轴下」；若两极值同号，就只穿一次；极值恰等于 0 时出现重根。
下面把这条几何条件写成对参数 a 的不等式，并取 a=0 做具体回代。
二、逐题精讲
题1
题1 求极大值、极小值，并给出方程 f(x)=0 有三个、两个、一个实根时 a 的范围。
解析
f′(x) = 3(x−1)(x+1)，极值点 x = -1 与 x = 1。代入：f(-1) = (−1)³ − 3(−1) + a = 2 + a；f(1) = 1 − 3 + a = a − 2。
三个实根：f(-1) > 0 且 f(1) < 0，即 a + 2 > 0 且 a − 2 < 0，得 -2 < a < 2。两个实根（含一个重根）：a + 2 = 0 或 a − 2 = 0，即 a = -2 或 a = 2。一个实根：a < -2 或 a > 2。
回代核验：a = 2 时 f(1) = 0，x = 1 是重根，另有一根 x = −2；a = -2 时 x = −1 是重根、另一根 x = 2，两处都与「两根」一致。3/2/1 三档互不相交且覆盖全部 a。
答案 极大 a+2、极小 a−2；三根 -2<a<2，两根 a=-2 或 2，一根 |a|>2
采分点 求导与极值点 2 分；两个极值式 2 分；三根不等式 2 分；边界重根 2 分；一根条件 1 分；回代 1 分
易错点 把三根条件写成 f(−1)<0 且 f(1)>0；漏掉 a=±2 的重根情形
题2
题2 取 a = 0，求 f(x)=0 的三个根，并逐一回代验证。
解析
a = 0 时 f(x) = x³ − 3x = x(x² − 3)，故三根为 x = -1.7321、x = 0、x = 1.7321。
逐一回代：f(0) = 0；f(1.7321) = (1.7321)³ − 3×1.7321 = -0.0 ≈ 0；由 f 是奇函数，f(-1.7321) = −f(1.7321) = 0。三处都成立。
又因 a = 0 落在 -2 < a < 2 内，与题1「三根」结论一致；f(-1) = 2 > 0、f(1) = -2 < 0，符号条件也闭合。若把 a 取到 2，图像在 x=1 处与轴相切，就退化成两根，边界情形必须单独判。
答案 三根 -1.7321、0、1.7321；回代 f 均为 0，且 a=0 落在三根区间内
采分点 因式分解 2 分；三个根 2 分；逐一回代 2 分；奇函数说明 1 分；与题1 条件对应 2 分；边界提示 1 分
易错点 漏掉 x=0 这个根；把 √3 近似值当精确根写
三、规律小结与对照表
| a 范围 | 极值符号 | 实根数 | 典型 |
|---|---|---|---|
| -2<a<2 | 极大>0 极小<0 | 3 | a=0 |
| a=-2 或 a=2 | 某极值=0 | 2（重根） | 相切 |
| |a|>2 | 两极值同号 | 1 | 单穿 |
| 极值点 | x=-1,1 | — | f′=0 |
小结：先由 f′ 找极值，再让极大与极小异号。本例 −2<a<2 给三根、a=±2 给重根两根、|a|>2 给一根；a=0 时三根 -1.7321、0、1.7321 全部回代成立。题面数值均为自编示意。
四、自测清单
- 能由导数求出两个极值点
- 能把极值写成含参数 a 的式子
- 能由极值异号给出三根范围
- 能单独处理极值等于 0 的重根边界
- 能在 a=0 时求出三个根
- 能把具体 a 与题1 范围对应回代
