题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
求点到平面的距离，直接作垂线往往找不到落点；更稳的是「等体积法」：同一个三棱锥换一个面当底面，体积不变，于是 V = 1/3·S·h 里的 h 就能反解出来。
自编示意：三棱锥 P-ABC 中，A 为直角顶点，AB = 3、AC = 4、PA = 4 两两垂直。边长均为自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 以 ABC 为底求体积 V，并写出 PB、PC、BC 三条棱长。
解析
底面 ABC 是直角三角形，S(ABC) = ½×AB×AC = ½×3×4 = 6.0。因 PA ⊥ 平面 ABC，高就是 PA = 4。
V = 1/3·S(ABC)·PA = 1/3×6.0×4 = 8.0。
三条棱：PB = √(PA²+AB²) = √(16+9) = 5；PC = √(PA²+AC²) = √32 = 5.6569；BC = √(AB²+AC²) = 5 = 5。回代核验：把 V 写成 1/3×6.0×4 = 8.0，与逐乘一致；三个棱长都满足勾股，说明题给边长自洽。
答案 S(ABC)=6.0，V=8.0；PB=5、PC=5.6569、BC=5
采分点 底面积 1 分；体积 8.0 3 分；三条棱长各 1 分；勾股回代 2 分
易错点 把 PA 当底面的边而不是高；体积漏乘 1/3
题2
题2 用等体积法求 A 到平面 PBC 的距离 h，并用直角顶点倒平方和公式互验。
解析
换底：V = 1/3·S(PBC)·h，故 h = 3V/S(PBC)。先由向量叉积求 S(PBC)：取 A 为原点，AB=(3,0,0)、AC=(0,4,0)、AP=(0,0,4)，则 (B−P)×(C−P) = (16,12,12)，模长 √544 ≈ 23.324，S(PBC) = ½×23.324 = 11.6619。于是 h = 3×8.0/11.6619 = 2.058。
互验：直角顶点 A 到斜面 PBC 的距离满足 1/h² = 1/AB² + 1/AC² + 1/PA² = 1/9 + 1/16 + 1/16 = 0.236111，故 h = 1/√0.236111 = 2.058，与等体积法同值。
回代核验：1/3×11.6619×2.058 = 8.0，与题1 体积一致；两条路径一个用叉积求面积、一个用倒平方和，互不依赖却给同一个 h，这就是等体积法最可靠的自检。
答案 S(PBC)≈11.6619，h≈2.058；1/h²=0.236111 给同一 h，回代体积 8.0
采分点 换底写出 h=3V/S 2 分；叉积求面积 2 分；h 数值 2 分；倒平方和公式 2 分；两路互验 2 分
易错点 把 S(PBC) 当成 S(ABC)；倒平方和里漏掉 1/PA²
三、规律小结与对照表
| 量 | 以 ABC 为底 | 以 PBC 为底 | 关系 |
|---|---|---|---|
| 底面积 | 6.0 | 11.6619 | 不同 |
| 高 | 4 | 2.058 | 待求 |
| 体积 | 8.0 | 8.0 | 相等 |
| 倒平方和 | — | 0.236111 | 1/h² |
小结：换一次底面，体积不变，高就解出来了。本例 V=8.0、S(PBC)≈11.6619、h≈2.058，1/h²=0.236111 两路闭合。边长均为自编示意。
四、自测清单
- 能用 V=1/3·S·h 以 ABC 为底求体积
- 能换底写出 h=3V/S(PBC)
- 能用向量叉积求斜面面积
- 知道直角顶点倒平方和公式
- 能用两条独立路径互验 h
- 不把两个底面积混用
