联招物理·亥姆霍兹线圈测 e/m：中心磁场里有个 (4/5)³ᐟ²

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

亥姆霍兹线圈是两个相同、同轴、间距恰等于半径 R 的线圈。这个间距让轴心附近一阶磁场不均匀性抵消，中心磁感应强度有简洁式子：B = (4/5)^(3/2)·μ0 N I / R。

电子经电压 U 加速后垂直进入该磁场做匀速圆周运动：eU = ½mv²，e v B = m v²/r，两式联立即得 e/m = 2U/(B²r²)。自编示意取 N = 100、I = 1.0 A、R = 0.1 m、U = 200 V、e/m = 1.76×10¹¹ C/kg 作正向验算，参数不代表真实实验条件。

二、逐题精讲

题1

题1　求轴心磁感应强度 B（写出系数来源），并由 U = 200 V 求电子速度 v。

解析

单线圈轴线上距中心 x 处 B = μ0 N I R²/(2(R²+x²)^(3/2))。两线圈各距中心 R/2，叠加后中心处 B = 2×μ0 N I R²/(2(R²+R²/4)^(3/2)) = (4/5)^(3/2)·μ0 N I / R，系数 0.715542 即由此而来。

代入：μ0 N I / R = 4π×10⁻⁷×100×1.0/0.1 = 0.001257 T，乘 0.715542 得 B = 0.0008991763 T。

加速：v = √(2(e/m)U) = √(2×1.76×10¹¹×200) = 8390471 m/s。

回代核验：½ m v² = eU 即 v²/(2U) = e/m = 1.76×10¹¹，代回成立；(4/5)^(3/2) = 0.715542，与两线圈叠加式一致。

答案　系数 0.715542；B = 0.0008991763 T；v = 8390471 m/s

采分点　写出叠加与系数来源 3 分；μ0NI/R 1 分；B 2 分；加速式 2 分；v 1 分；回代 1 分

易错点　把 (4/5)^(3/2) 写成 4/5 或 (4/5)²；加速式漏掉系数 2

题2

题2　求电子回旋半径 r，再由 r 与 B 反推 e/m，验证是否回到 1.76×10¹¹。

解析

由 e v B = m v²/r 得 r = m v/(e B) = v/((e/m)B) = 8390471/(1.76×10¹¹×0.0008991763) = 0.05302 m。

反推：e/m = 2U/(B² r²) = 2×200/(0.0008991763²×0.05302²) = 176000000000 C/kg，与正向取值（写作 176000000000 C/kg）在取位内一致，闭环。

回代核验：176000000000/1.76×10¹¹ ≈ 1；另由 r = √(2U/(e/m))/B 直接算也得 0.05302 m。注意 e/m 与 B 都要用同一组单位（T、m、V、C/kg），若把 r 写成 cm 而公式里按 m 用，会差 10⁴ 倍。

答案　r = 0.05302 m；反推 e/m = 176000000000 C/kg，与 1.76×10¹¹ 闭合

采分点　写出 r=v/((e/m)B) 2 分；r 数值 2 分；反解式 2 分；176000000000 1 分；单位一致说明 1 分；两路回代 1 分

易错点　把 r 用 cm 代入；反解式写成 U/(B²r²) 漏 2

三、规律小结与对照表

小结：间距取 R 才有 (4/5)^(3/2) 这个系数；加速给 v、磁场给 r，两式联立反推荷质比。本例 B=0.0008991763 T、v=8390471 m/s、r=0.05302 m，反推 176000000000 C/kg 闭合。参数均为自编示意，不代表真实实验条件。

四、自测清单

• 知道亥姆霍兹线圈间距等于半径
• 能写出轴心磁场系数 (4/5)^(3/2)
• 能用 eU=½mv² 求电子速度
• 能用 evB=mv²/r 求回旋半径
• 能由 2U/(B²r²) 反推荷质比
• 能保持 T、m、V 单位一致