联招数学·抽象函数赋值法：f(x+2)=−f(x) 里藏着周期 4

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

抽象函数没有解析式，唯一可靠的工具是「把条件里的 x 换成 x+2、x+4 … 反复代」。若代 k 次后右边回到 f(x) 本身，周期就是每次步长乘 k。

自编示意条件：对任意 x 有 f(x+2) = −f(x)，并给 f(1) = 3、f(0) = 0。条件与函数值均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1　由 f(x+2) = −f(x)、f(1) = 3 求周期与 f(3)、f(5)。

解析

把 x 换成 x+2：f(x+4) = −f(x+2) = −(−f(x)) = f(x)。两次代换后回到自身，步长 2 乘 2 次，故周期 T = 4。注意不是 2：代一次只得到相反数，要代两次才回原值。

f(3) = f(1+2) = −f(1) = -3；f(5) = f(3+2) = −f(3) = 3，也可直接用周期 f(5) = f(1+T) = f(1) = 3，两条路一致。

回代核验：f(5) − f(1) = 0，周期为 4 时 5−1 = 4，吻合；f(3)+f(1) = 0，与「差 2 取相反数」一致。

答案　周期 T = 4；f(3) = -3，f(5) = 3

采分点　连续代换 3 分；周期 4 2 分；两个函数值各 1 分；两条路互验 2 分；「不是 2」说明 1 分

易错点　把周期写成 2；代一次就下结论

题2

题2　给 f(0) = 0，求 f(2)、f(2026)；若条件改为 f(x+1) = 1/f(x)（f 恒不为 0），周期变成多少？

解析

f(2) = −f(0) = 0。因周期为 4，f(2026) = f(2026 mod 4)。2026 = 4×506 + 2，故 f(2026) = f(2) = f(2) = 0。取模这一步把大下标压回一个周期内，是抽象函数求值的标准动作。

换条件 f(x+1) = 1/f(x)：代一次得 f(x+2) = 1/f(x+1) = f(x)，故周期 T′ = 2。步长从 2 变 1、代 2 次仍回到自身，周期就是 1×2 = 2，与「代几次回到自身决定周期」一致。

回代核验：2 = 2026 − 4×506；f(2026) 与 f(2) 同为 0；新条件下 f(x+2) = f(x) 闭合。注意新条件要求 f 恒不为 0，否则 1/f 无意义，这个前提要写出来。

答案　f(2) = 0，2026 ≡ 2 (mod 4) 故 f(2026) = 0；换条件后周期 2（须 f≠0）

采分点　f(2) 1 分；取模计算 2 分；f(2026) 2 分；新条件连代 2 分；周期 2 1 分；f≠0 前提 1 分；回代 1 分

易错点　把 2026 直接代入而不取模；新条件漏写 f≠0

三、规律小结与对照表

小结：抽象函数靠连代找周期，代几次回自身就用步长乘几次。本例 f(x+2)=−f(x) 给 T=4，f(3)=-3、f(5)=3、f(2026)=0；换成 1/f 型后 T′=2。条件均为自编示意。

四、自测清单

• 能通过连续代换推出函数周期
• 知道代一次得相反数不等于周期
• 能用周期与取模求大下标函数值
• 能处理 f(x+1)=1/f(x) 型条件
• 能写出 f≠0 的前提
• 能用两条路径互验 f(5)