联招数学·复数三角形式：棣莫弗把乘方变成「模乘方、角乘倍」

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

复数化成三角形式 z = r(cosθ + i sinθ) 后，乘方有一条捷径：zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)。模直接乘方、辐角直接乘 n，不必逐层展开二项式。

棣莫弗定理对整数 n 成立；本题取 n 为正整数，用两个自编示意复数走一遍，并用「逐步平方」独立回代。

二、逐题精讲

题1

题1　把 z = 1+i 化为三角形式，用棣莫弗定理求 z⁸，并用逐步平方法互验。

解析

模 r = √(1²+1²) = √2 ≈ 1.4142；辐角 θ 满足 cosθ = 1/√2、sinθ = 1/√2，故 θ = π/4 ≈ 0.7854。

棣莫弗：z⁸ = (√2)⁸(cos(8×π/4) + i sin(8×π/4)) = 16(cos 2π + i sin 2π) = 16×(1 + 0i) = 16。

逐步平方互验：(1+i)² = 1+2i+i² = 2i；⁴ = (2i)² = -4；⁸ = (-4)² = 16。两路同值。回代核验：r⁸ = (√2)⁸ = 2⁴ = 16；8θ = 2π，cos 2π = 1.0，故虚部为 0，结果是实数。

答案　r≈1.4142、θ≈0.7854；z⁸ = 16；逐步平方 2i → −4 → 16 闭合

采分点　模与辐角各 2 分；棣莫弗式 2 分；z⁸=16 1 分；逐步平方 2 分；虚部为零说明 1 分

易错点　把辐角写成 π/2；棣莫弗里忘记模也要乘方

题2

题2　对 z = √3 + i 求模与辐角，用棣莫弗求 z⁶，并说明结果为何落在负实轴上。

解析

模 r = √(3+1) = 2；cosθ = √3/2、sinθ = 1/2，故 θ = π/6 ≈ 0.5236。

z⁶ = 2⁶(cos(6×π/6) + i sin(6×π/6)) = 64(cos π + i sin π) = 64×(-1 + 0i) = -64。

落在负实轴是因为 6θ = π，正好是辐角主值里 cos = −1、sin = 0 的方向；虚部归零后只剩负实数。回代核验：2⁶ = 64，乘 cos π = -1 得 -64；-64 = −64 与之一致。若把辐角误取 π/3，6θ = 2π 会得 +64，符号正好反，说明辐角必须按 cos、sin 同时定。

答案　r=2、θ≈0.5236；z⁶ = -64，因 6θ=π 落在负实轴

采分点　模与辐角各 2 分；棣莫弗式 2 分；z⁶=-64 1 分；负实轴解释 2 分；辐角误取对照 1 分

易错点　把辐角取成 π/3；漏掉 cos π = −1 写成 +64

三、规律小结与对照表

小结：三角形式把乘方拆成「模乘方 + 辐角乘 n」。本例 (1+i)⁸=16、(√3+i)⁶=-64，逐步平方与 cos 2π / cos π 两路都闭合。题面数值均为自编示意。

四、自测清单

• 能把复数化为 r(cosθ+i sinθ)
• 能由 cos、sin 同时定辐角
• 能用棣莫弗定理求正整数次幂
• 知道模也要乘方
• 能用逐步平方法独立互验
• 能解释结果落在实轴或负实轴的原因