联招物理·静电计测介电常数：电荷不变时 U 降几倍，εr 就是几

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

用静电计测介电常数的前提是电容器与电源断开：极板电荷 Q 保持不变，插入介质后电容 C 变为 εr·C0，于是 U = Q/C 降为原来的 1/εr，反解 εr = U0/U。静电计内阻极大，接上去几乎不改变 Q。

自编示意：空气时静电计读数 U0 = 300.0 V，插入充满极板间隙的介质后 U = 100.0 V。电压与常数均为自编示意，不代表真实器件。

二、逐题精讲

题1

题1　求相对介电常数 εr，并说明为什么必须断开电源。

解析

Q 不变时 C = εr C0，U = Q/C = Q/(εr C0) = U0/εr，故 εr = U0/U = 300.0/100.0 = 3.0。

必须断开电源：若仍接着电源，电源会把极板电压钉在 U0 不变，插入介质只让电源多送些电荷（Q 变为 εr 倍），静电计读数根本不动，U0/U = 1 会给出 εr = 1 的假结论。方法的全部依据就是「Q 不变」这一条。

回代核验：C 由 1.0C0 变 3.0C0，Q = C0·300.0 = 3.0C0·100.0，两边同为 300.0·C0，闭合。

答案　εr = 3.0；须断开电源保持 Q 不变，接电源时 U 不变、方法失效

采分点　写出 U=U0/εr 2 分；εr=3.0 2 分；Q 不变前提 2 分；接电源后果 2 分；电荷回代 2 分

易错点　把 εr 写成 U/U0；忽略「断开电源」这一前提

题2

题2　若介质只插入极板间隙的一半厚度（沿电场方向），电压变成多少？为什么不是简单取 3.0/2？

解析

半厚度插入相当于「空气层 + 介质层」两个电容串联：C = ε0S/(d/2 + d/(2εr)) = [2εr/(εr+1)]·C0。代入 εr = 3.0 得 C = 1.5C0。

于是 U′ = Q/C = U0/1.5 = 300.0/1.5 = 200.0 V，比全插入时的 100.0 V 高 100.0 V。

不能简单取 εr/2 = 1.5 去套 U0/1.5 = 200 V 虽数值巧合相同，但理由错了：串联公式里倒数相加的是「等效厚度」d/2 + d/(2εr)，不是把介电常数取算术平均。回代核验：2×3.0/(3.0+1) = 1.5；200.0×1.5 = 300.0，与 Q 不变闭合。

答案　U′ = 200.0 V（比全插入高 100.0 V）；须用串联等效厚度 2εr/(εr+1) = 1.5，不是 εr 取一半

采分点　写出串联等效式 3 分；1.5 1 分；U′=200.0 2 分；算术平均错法辨析 2 分；回代 1 分

易错点　把两电容当成并联；直接令 εr′ = εr/2

三、规律小结与对照表

小结：断开电源保住 Q 不变，εr=U0/U。本例 εr=3.0；半厚度插入按串联等效厚度算得 200.0 V，不是把介电常数取一半。参数均为自编示意，不代表真实器件。

四、自测清单

• 知道静电计测介电常数须保持电荷不变
• 能由 U0/U 求 εr
• 能说明接电源时方法为何失效
• 能把半厚度插入看成两电容串联
• 能写出 2εr/(εr+1) 的等效电容系数
• 能用 QU 关系回代