联招数学·独立与互斥：概率都非零时两者不能同时成立

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

「独立」说的是发生与否互不影响，用乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)；「互斥」说的是不能同时发生，用 P(AB)=0。两个概念都管 P(AB)，但给的值一般不同。

把它们放一起就能看出一个干净结论：若 P(A)、P(B) 都大于 0，则独立要求 P(AB)=P(A)P(B)>0，互斥要求 P(AB)=0，二者不可能同时成立。下面按自编示意数值现算。

二、逐题精讲

题1

题1　设 P(A) = 0.4、P(B) = 0.3。分别求「A、B 独立」与「A、B 互斥」时的 P(AB) 与 P(A∪B)。

解析

独立：P(AB) = P(A)P(B) = 0.4×0.3 = 0.12；P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(AB) = 0.4+0.3−0.12 = 0.58。

互斥：P(AB) = 0；P(A∪B) = P(A)+P(B) = 0.4+0.3 = 0.7。

两种情形的并事件概率相差 0.7 − 0.58 = 0.12，正好等于独立时的 P(AB) = 0.12，因为加法公式里减掉的就是这一项。回代核验：0.4+0.3−0.12 = 0.58，0.4+0.3−0 = 0.7，两式闭合。

答案　独立：P(AB)=0.12、P(A∪B)=0.58；互斥：P(AB)=0、P(A∪B)=0.7；差 0.12

采分点　独立乘法公式 2 分；两个 P(AB) 各 1 分；两个并事件概率各 2 分；差值与 P(AB) 对应 1 分；回代 1 分

易错点　互斥时仍用乘法公式；把 0.12 说成取位差

题2

题2　证明：当 P(A)>0 且 P(B)>0 时，A、B 不能既独立又互斥。并求两种情形下 P(A|B) 各是多少。

解析

反证：若既独立又互斥，则由独立得 P(AB) = P(A)P(B) = 0.12 > 0；由互斥得 P(AB) = 0。同一个量既等于 0.12 又等于 0，矛盾。故两者不能并存。唯一例外是至少一个事件概率为 0，此时 P(A)P(B)=0 与 P(AB)=0 相容。

条件概率：独立时 P(A|B) = P(AB)/P(B) = 0.12/0.3 = 0.4，等于 P(A) 本身，这正是「B 发生不影响 A」的量化写法；互斥时 P(A|B) = 0/0.3 = 0.0，B 一发生 A 就不可能，影响是满的。

回代核验：0.4 = 0.4，与独立定义一致；0.0 = 0，与互斥定义一致。两个条件概率一等于原概率、一归零，正好把两种关系区分到底。

答案　反证得 P(AB) 既 0.12 又 0 故矛盾；独立时 P(A|B)=0.4=P(A)，互斥时 0.0

采分点　反证结构 3 分；例外说明 1 分；两个条件概率各 2 分；与定义对应 2 分；回代 1 分

易错点　漏掉「至少一个概率为 0」的例外；把互斥时 P(A|B) 写成 P(A)

三、规律小结与对照表

小结：独立用乘法、互斥给 0；本例并事件概率 0.58 对 0.7，差 0.12 恰是 P(AB)。非零概率下两者不能并存，条件概率 0.4 对 0.0 把区别写到底。数值均为自编示意。

四、自测清单

• 能用乘法公式算独立时的 P(AB)
• 能用加法公式算两种并事件概率
• 能用反证说明两者不能并存
• 知道概率为 0 时的例外
• 能算两种情形的 P(A|B)
• 能把差值与 P(AB) 对应起来