题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
求 (1+2x)⁸ 展开式里系数最大的项，标准做法是看相邻两项系数之比：设第 r+1 项系数 a(r) = C(8,r)·2^r，算 a(r+1)/a(r) = [C(8,r+1)·2^(r+1)]/[C(8,r)·2^r] = 2(8−r)/(r+1)。
比值大于 1 时系数还在涨，小于 1 时开始降；但比值「恰等于 1」时相邻两项相等，必须单独判成并列，不能顺手写成「唯一最大项」。下面按题面现算。
二、逐题精讲
题1
题1 求 (1+2x)⁸ 展开式中系数最大的项，并求所有项的系数和。
解析
a(r+1)/a(r) = 2(8−r)/(r+1)。令其 ≥ 1：16 − 2r ≥ r + 1，即 15 ≥ 3r，r ≤ 5。所以 r=0…5 时系数不降，r≥6 后开始降。但要点在 r=5：比值 = 2(8−5)/(5+1) = 2×3/6 = 1.0，恰等于 1，说明 a(5) 与 a(6) 相等。
实算：a(5) = C(8,5)·2^5 = 56×32 = 1792；a(6) = C(8,6)·2^6 = 28×64 = 1792。两者同为 1792，故第 5+1 项与第 6+1 项并列最大，系数都是 1792。
系数和用赋值法：令 x=1，(1+2)⁸ = 3⁸ = 6561。回代核验：前一段比值 a(5)/a(5−1) = 1.6 ≥ 1，后一段 a(6+1)/a(6) = 0.5714 < 1，转折位置闭合，且 1792=1792 不是取位巧合。
答案 第 6 项与第 7 项并列最大，系数均为 1792；系数和 6561
采分点 写出相邻系数比 2(8−r)/(r+1) 2 分；解出 r≤5 2 分；发现比值等于 1 并判并列 3 分；两个系数值 1 分；赋值法系数和 1 分；前后比值回代 1 分
易错点 解出 r≤5 就答「第 6 项唯一最大」；把系数和写成 2⁸
题2
题2 若按「r≤5 故第 5+1 项唯一最大」作答，会漏掉什么？用相邻比值说明为什么必须验 r=5 处。
解析
会漏掉第 6+1 项。因为不等式只给出「不降」的区间，边界 r=5 处比值恰为 1.0，意味着 a(6) 与 a(5) 相等而不是变小；只有再往一步，r=6 处比值 = 2(8−6)/(6+1) = 0.5714 < 1，才真正开始下降。
换句话说，增减性判定要给「等于」单独留一格：大于 1 递增、等于 1 并列、小于 1 递减。本例 C(8,5)2^5 = 1792 与 C(8,6)2^6 = 1792 完全相同，是精确相等，不是四舍五入。
回代核验：1792/1792 = 1.0；1.6 ≥ 1、1.0 = 1、0.5714 < 1 三段连起来，正好把「升—平—降」写全；系数和 6561 与单项最大值 1792 不冲突，一个是总和一个是单项。
答案 漏掉第 6+1 项；r=5 处比值 1.0=1 使两项并列，须验到 r=6 处比值 0.5714<1 才下降
采分点 指出漏项 1 分；等于 1 单独留格 2 分；三段比值 3 分；精确相等非取位 1 分；系数和与单项区分 1 分；回代 1 分
易错点 把「等于 1」并进「大于 1」或「小于 1」；认为两项相等是取位误差
三、规律小结与对照表
| r 段 | 比值 | 系数变化 | 结论 |
|---|---|---|---|
| r<5 | >1 | 递增 | 未到最大 |
| r=5 | =1.0 | 相等 | 两项并列 |
| r=6 | 0.5714<1 | 递减 | 开始下降 |
| 赋值 x=1 | — | — | 和 6561 |
小结：相邻系数比解到 r≤5 还不够，r=5 处比值 1.0=1 说明第 6、7 项并列最大、系数同为 1792；令 x=1 得系数和 6561。题面数值均为自编示意。
四、自测清单
- 能写出相邻系数比 2(8−r)/(r+1)
- 能由比值 ≥1 解出 r 的范围
- 知道比值等于 1 时两项并列
- 能实算两个并列项的系数
- 能用赋值法求系数和
- 能区分系数总和与单项最大值
