联招数学·五点法作 y=3sin(2x+π/6)：先平移还是先压缩，平移量不一样

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

五点法的骨架是令整体相位 θ = ωx + φ 依次取 0、π/2、π、3π/2、2π，反解出五个 x，再对应 y = 0、A、0、−A、0。这样不必描无数点就能定出一个周期的形状。

另一个高频错在变换顺序：从 y=sin x 到 y=3sin(2x+π/6)，可以先平移再压缩，也可以先压缩再平移，但两条路的平移量不同，混用就会把相位弄丢。下面按自编题面现算，所有角度与数值均为示意。

二、逐题精讲

题1

题1　对 y = 3sin(2x + π/6)，用五点法列出一个周期内五个关键点的横坐标与函数值，并求周期。

解析

A = 3，ω = 2，φ = π/6，周期 T = 2π/ω = 3.1416。

令 2x + π/6 = 0、π/2、π、3π/2、2π，逐点反解：

θ=0 → x = −π/12 ≈ -0.2618，y=0；θ=π/2 → x = π/6 ≈ 0.5236，y=3；θ=π → x = 5π/12 ≈ 1.3090，y=0；θ=3π/2 → x = 2π/3 ≈ 2.0944，y=-3；θ=2π → x = 11π/12 ≈ 2.8798，y=0。

回代核验：把 x2 代回，2×π/6 + π/6 = π/2，sin 为 1，乘 A 得 3；把 x4 代回，2×2π/3 + π/6 = 3π/2，sin 为 −1，乘 A 得 -3。五点横坐标首尾相距 3.1416 = π，正好一个周期。

答案　五点 x ≈ -0.2618、0.5236、1.3090、2.0944、2.8798；y = 0、3、0、-3、0；T = 3.1416

采分点　写出 A、ω、φ 与周期 2 分；五个横坐标各 1 分；五个函数值 2 分；两点代回验算 2 分；首尾间距回代 1 分

易错点　把 x 当成 θ 直接取 0、π/2…；忘了除以 ω

题2

题2　从 y=sin x 出发，给出两条得到 y=3sin(2x+π/6) 的变换顺序及各步平移量；若先压缩后仍平移 π/12，会得到什么？

解析

路线一（先平移后压缩）：y=sin x 先左移 φ 本身，即 π/6 ≈ 0.5236，得 sin(x+π/6)；再把横坐标压缩到原来的 1/2（把 x 换成 2x）得 sin(2x+π/6)；最后纵向伸长 3 倍。注意这一步平移的是「x」不是「2x」，所以量是 φ 而不是 φ/ω。

路线二（先压缩后平移）：先把 x 换成 2x 得 sin 2x；此时再左移 φ/ω = (π/6)/2 = π/12 ≈ 0.2618，得 sin(2(x+π/12)) = sin(2x+π/6)；最后纵向伸长 3 倍。压缩之后括号里已经是 2x，平移量必须除以 ω。

两个平移量 0.5236 与 0.2618 相差 ω=2 倍，不能混用。若先压缩后仍平移 0.5236，得 sin(2(x+π/6)) = sin(2x+π/3)，相位多了一倍；若先平移只移 0.2618 再压缩，得 sin(2x+π/12)，相位少了一半。

回代核验：0.5236 = 2×0.2618；把 0.2618 代入 2(x+0.2618) = 2x+π/6，或把 0.5236 代入 (2x+0.5236) = 2x+π/6，两条路都回到题面相位，闭环。

答案　先平移 π/6≈0.5236 再压缩；或先压缩再平移 π/12≈0.2618；两量差 ω=2 倍，混用会得 π/3 或 π/12

采分点　两条顺序各 2 分；两个平移量各 1 分；混用后的错误相位 2 分；φ/ω=π/12 关系 1 分；回代 1 分

易错点　把 π/6 与 π/12 张冠李戴；认为「振幅变换会改变平移量」

三、规律小结与对照表

小结：五点法令相位取五个整值再除以 ω；变换顺序换一次，平移量就差 ω 倍。本题 T=3.1416、A=3，五点首尾相距 π。题面与数值均为自编示意。

四、自测清单

• 能用 θ=ωx+φ 取五个整值反解 x
• 能求周期 T=2π/ω
• 能由相位回代验峰值与谷值
• 知道两种变换顺序的平移量不同
• 能算出 φ/ω=π/12 与 φ=π/6 的差
• 不把横坐标压缩与纵向伸长混为一谈