联招数学·圆排列与项链排列：旋转同一、翻转也同一，各除一次

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

把 n 颗不同珠子排成一列是 n!。但穿成圆环后，没有「第一颗」：同一种摆法旋转 n 次会得到 n 个直线排列，所以圆排列数 = n!/n = (n−1)!。

若再把「翻过来」也看成同一种（项链可以从反面看），每种摆法还多一个镜像，通常再除以 2，得 (n−1)!/2。两次除法各消掉一种对称，不能合并成一次，也不能多除。下面按 n=5 与 n=6 的自编题面现算。

二、逐题精讲

题1

题1　5 颗不同珠子，分别求直线排列、圆排列（旋转视为同一）与项链排列（旋转与翻转都视为同一）的种数。

解析

直线排列：5! = 120 种。

圆排列：固定一颗珠子当参照，其余 5−1 = 4 颗绕它排，(5−1)! = 24 种；等价写法 5!/5 = 120/5 = 24。

项链排列：圆环翻面后与镜像同一，再除以 2，得 24/2 = 12 种。

回代核验：120/24 = 5.0，正好是旋转等价的 n=5 倍；24/12 = 2.0，正好是翻转等价的 2 倍。两次除法各有来由，不是「随便除一下」。

答案　直线 120 种，圆排列 24 种，项链 12 种；两次分别除 5 与 2

采分点　直线排列 120 1 分；圆排列公式与 24 3 分；项链排列 12 2 分；两次除法说明 2 分；两个倍数回代 2 分

易错点　圆排列写成 5!；项链排列只除一次 5

题2

题2　若把圆排列误按直线排列报数，夸大多少倍？把项链误按圆排列报数呢？用 6 颗珠子再验一次三个数。

解析

圆排当直线排：120/24 = 5.0 倍；项链当圆排：24/12 = 2.0 倍。注意这两个倍数回答的是不同问题，不能相乘说成「总共夸大 10 倍」——从项链一路误到直线才是 120/12 = 10 倍，中间隔了两次不同的对称。

6 颗珠子：直线 6! = 720，圆排 (6−1)! = 120，项链 120/2 = 60。比值 720/120 = 6.0，与 n=6 一致，说明「旋转等价除 n」对任意 n 成立。

回代核验：120×6.0 = 720，60×2 = 120；5=5 时 12×2 = 24、24×5.0 = 120，两组数各自闭合。

答案　圆排当直线夸大 5.0 倍，项链当圆排夸大 2.0 倍；6 颗时 720/120/60，旋转倍数 6.0

采分点　两个夸大倍数各 2 分；不相乘的说明 1 分；6 颗三个数 2 分；旋转倍数 6.0 1 分；两组回代 2 分

易错点　把 5 倍与 2 倍相乘当成同一个误判的夸大；项链排列漏除翻转

三、规律小结与对照表

小结：旋转同一除 n，翻转同一再除 2。5 颗得 120/24/12，6 颗得 720/120/60；两次除法各消一种对称，别合并也别多除。题面数值均为自编示意。

四、自测清单

• 知道圆排列是 (n−1)! 并理解旋转等价
• 知道项链排列再除以 2
• 能算直线、圆排、项链三个数
• 能解释两次除法各消一种对称
• 能用 6 颗珠子验证旋转倍数
• 不把两个夸大倍数相乘当同一误判