题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
等比数列前 n 项和 S(n) = a1(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1）。只有 |q|<1 时 qⁿ→0，才谈得上无穷递缩和 S∞ = a1/(1−q)；|q|≥1 时部分和发散或振荡，硬套公式会给出一个没有意义的数。
余项 R(n) = S∞ − S(n) = a1 qⁿ/(1−q)，也就是「后面所有项之和」仍是一个等比和，可用 |q|ⁿ·S∞ 直接算。下面按自编示意 a1 = 2、q = 1/2 现算。
二、逐题精讲
题1
题1 a1 = 2、q = 1/2，求 S5、S∞ 与余项 R5，并验证 R5 的两种算法一致。
解析
S5 = a1(1−q⁵)/(1−q) = 2(1−(1/2)⁵)/(1−1/2) = 4×(1−1/32) = 4×31/32 = 3.875。
因 |q| = 0.5 < 1，S∞ = a1/(1−q) = 2/0.5 = 4.0。
余项：R5 = S∞ − S5 = 4.0 − 3.875 = 0.125；另一路 R5 = a1 q⁵/(1−q) = |q|⁵·S∞ = 0.03125×4.0 = 0.125，两值相同。回代核验：3.875 + 0.125 = 4.0，闭合；逐项加 2+1+0.5+0.25+0.125 = 3.875 也等于 3.875。
答案 S5 = 3.875，S∞ = 4.0，R5 = 0.125；两种余项算法同值 0.125
采分点 S5 公式与数值 3 分；收敛条件说明 1 分；S∞ 2 分；余项两路各 1 分；逐项加回代 1 分
易错点 |q|≥1 仍套 S∞；余项写成 S5−S∞ 得负数
题2
题2 若把公比改成 q = 2，S5 是多少？S∞ 存在吗？说明为什么不能「把 n 取得很大」来逼近。
解析
q = 2 时 S5 = a1(q⁵−1)/(q−1) = 2(32−1)/1 = 62.0（用 qⁿ−1 形式只是为了避免负号，数值一致）。
|q| = 2 ≥ 1，qⁿ 不趋于 0，部分和随 n 增大而发散，S∞ **不存在**。此时若硬套 a1/(1−q) = 2/(1−2) = −2，会得到与正项部分和完全矛盾的负数，这就是公式越界的典型信号。
「把 n 取很大」只能让 S(n) 变大，不会让它稳定到某个极限；收敛是 qⁿ→0 的性质，不是 n 大就自动成立。回代核验：q=1/2 时 0.03125 = (1/2)⁵ 已很小，故余项 0.125 也小；q=2 时 2⁵ = 32 反而放大，两相对照就是收敛条件的作用。
答案 q=2 时 S5 = 62.0；S∞ 不存在，硬套公式会得 −2 与正项和矛盾
采分点 S5 = 62.0 2 分；收敛条件判定 2 分；硬套公式的荒谬值 2 分；n 大不等于收敛 2 分；两公比对照回代 1 分
易错点 把 −2 当成「无穷和」；认为 n 取够大就能逼近
三、规律小结与对照表
| 公比 | |q| | S5 | S∞ |
|---|---|---|---|
| 1/2 | <1 | 3.875 | 4.0 |
| 1/2 余项 | — | R5=0.125 | |q|⁵·S∞=0.125 |
| 2 | ≥1 | 62.0 | 不存在 |
| 硬套公式 | — | — | −2 矛盾 |
小结：先验 |q|<1 再谈 S∞。本例 S5=3.875、S∞=4.0、R5=0.125；换成 q=2 后 S5=62.0 而无穷和不存在。数值均为自编示意。
四、自测清单
- 能用 S(n)=a1(1−qⁿ)/(1−q) 求前 n 项和
- 知道 |q|<1 才有无穷递缩和
- 能用 S∞=a1/(1−q) 求无穷和
- 能用两种算法算余项并互验
- 知道 |q|≥1 时硬套公式会得矛盾值
- 能说明 n 大不等于收敛
