题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
「从 10 个球（3 红 7 白）里抽 5 次，红球个数」不是一个分布，是两个：每次放回再抽，各次独立、红球概率恒为 0.3，是二项分布 B(5, 0.3)；一次抓 5 个不放回，各次不独立，是超几何分布 H(N=10, M=3, n=5)。
两者期望公式长得一样（都是 n·M/N），但方差与具体概率不同。下面全部按题面参数现算，袋中球数与颜色数均为自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 有放回抽 5 次，求红球数 X 的期望、方差与 P(X=2)。
解析
X ~ B(5, 0.3)。E(X) = np = 5×0.3 = 1.5；Var(X) = np(1−p) = 5×0.3×0.7 = 1.05。
P(X=2) = C(5,2)·0.3²·0.7³ = 10×0.09×0.343 = 0.3087。
回代核验：把 0.343 写成 0.7³、0.09 写成 0.3²，乘积 0.03087 乘 10 得 0.3087；又 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) 只是分布的一部分，别把它当全概率，全概率要 k 从 0 加到 5 才等于 1。
答案 E(X) = 1.5，Var(X) = 1.05，P(X=2) = 0.3087
采分点 识别二项分布 1 分；期望 1.5 1 分；方差 1.05 2 分；P(X=2) 公式与数值 3 分；说明需 k=0..5 才归一 1 分
易错点 把不放回也套 np(1−p)；只算三项就说「概率和为 1」
题2
题2 无放回一次抓 5 个，求红球数 Y 的期望、方差与 P(Y=2)，并与题1 比较。
解析
Y ~ H(10, 3, 5)。E(Y) = n·M/N = 5×3/10 = 1.5，与二项分布相同。
Var(Y) = n·p·(1−p)·(N−n)/(N−1) = 5×0.3×0.7×(10−5)/(10−1) = 1.05×0.5556 = 0.5833。多出来的因子 0.5556 叫有限总体修正，因为不放回使后面抽取的信息变多、波动变小。
P(Y=2) = C(3,2)·C(7,3)/C(10,5) = 3×35/252 = 105/252 = 0.4167。
比较：期望同为 1.5，但 P(X=2)=0.3087 与 P(Y=2)=0.4167 不同，方差 1.05 与 0.5833 之比 = 1.8。所以「期望相同」绝不等于「分布相同」；把超几何当二项会把方差高估 1.8 倍。
回代核验：1.05/0.5833 = 1.8，而 1/0.5556 = 1.8，两条路径一致；C(10,5)=252、3×35=105 闭合。
答案 E(Y) = 1.5，Var(Y) = 0.5833，P(Y=2) = 0.4167；期望同、方差比 1.8、概率不同
采分点 超几何期望 1 分；有限总体修正因子 0.5556 2 分；方差 0.5833 2 分；P(Y=2) 2 分；三处比较 2 分；方差比回代 1 分
易错点 漏乘 (N−n)/(N−1)；把 P(Y=2) 写成 C(5,2)0.3²0.7³
三、规律小结与对照表
| 量 | 有放回 B(5,0.3) | 无放回 H(10,3,5) | 结论 |
|---|---|---|---|
| 期望 | 1.5 | 1.5 | 相同 |
| 方差 | 1.05 | 0.5833 | 修正 0.5556 |
| P(恰2红) | 0.3087 | 0.4167 | 不同 |
| 方差比 | — | — | 1.8 |
小结：先读「放不放回」，再选模型。期望都是 1.5，但方差 1.05 对 0.5833、概率 0.3087 对 0.4167，方差比 1.8。袋中球数为自编示意，不代表真实抽样。
四、自测清单
- 能按放不放回区分二项与超几何
- 能算二项分布的期望与方差
- 能算超几何分布的方差并写出有限总体修正
- 能用组合数算 P(Y=2)
- 知道期望相同不推出分布相同
- 能回代方差比与修正因子
